网络流量：添加新边缘

Question

在最近的一次比赛中，我被要求设计一种算法，for a network having V vertices and E edges, if by adding an edge (it's capacity should be 1) results in increase the maximum flow.我们必须设计这样的算法才能找到这样的边缘。

算法应该比O(|E|* h(|V||E|))更快，其中h(|V||E|)是计算最大流量所花费的时间。

提前致谢。如果不清楚，请告诉我。

Answer 1

（菲利普所说的更正版本。）计算最大流量。提取由具有正剩余容量的弧组成的无容量有向图。当且仅当存在从源到尾部以及从头到水槽的路径时，添加特定弧会增加最大流量，即，弧的引入会产生增强路径。

在您的示例{s->a, a->b, a->c, a->d, b->t, c->t, d->t}中，最大流量为s-3>a, a-1>b, a-1>c, a-1>d, b-1>t, c-1>t, d-1>t，剩余图表具有每个后向弧{a->s, b->a, c->a, d->a, t->b, t->c, t->d}。从s可到达的顶点是{s}，从t可到达的顶点是{t}，因此唯一可以增加最大流量的单个弧是s->t。

Answer 2

根据Max-Flow-Min-Cut-Theorem [1]，网络中的最大流量等于最小切割中所有边缘权重的总和。因此，解决方案可能如下所示：

• 通过使用例如{li>找到具有总边缘权重X的最小切割。 Edmonds-Karp算法，Ford-Fulkerson算法的专业化。根据[1]，这是O(h|V||E|)。
• 添加一条边连接属于剪切(S, S')的不同分区的节点，即添加(u,v)位于u和S的边v }在S'。
• 重复，直到不再有总边重为X的切割。

Answer 3

我认为解决方案可以是：

1. 首次运行最大流量算法。现在，我们有残差图G。
2. 然后我们找到所有边（u，v），使得在残差图G中，我们可以找到从s到u的路径和从v到t的路径。

最坏情况的复杂性是O（| V | ^ 2（| V | + | E |）+ h（| V || E |））。

Answer 4

另一种解决方案可能如下：

步骤1.找到包含最小顶点数的最小切割（称为顶点Vmin）。

步骤2.找到包含最大顶点数的最小切割（调用其顶点Vmax）。

步骤3。找到链接Vmin和V \ Vmax但不属于E的所有边。

为什么这样做？ （I）添加新的uv边缘是好的，如果它包含在每个最小切割中（确切地说：如果它链接最小切割的不同组件）和（II）最小切割的“组”接近联合和交集。

复杂度：

对于Step1,2，我发现了以下好的algorythm：How can I find the minimum cut on a graph using a maximum flow algorithm?。这可以应用于找到具有最小和最大顶点的最小切割。这似乎在h（| E || V |）+ O（| V | ^ 3）中运行，其中O（| V | ^ 3）来自BFS，当您检查BFS是否结束时（即不再是新的）剩余相邻存在）。

对于Step3，其中O（| Vmin | * | V \ Vmax |）为O（| V | ^ 2）。

因此Step1,2,3 = h（| E || V |）+ O（| V | ^ 3）

请注意，这只是一个快速草图：）