在log n时间内解决斐波那契像复发一样

Question

在Fibonacci系列中找到第n个术语 f（n）= f（n-1）+ f（n-2）可以通过记忆在O（n）时间内求解。

更有效的方法是使用除法和征服来找到矩阵[[1,1]，[1,0]]的n次幂，以便在log n时间内解决Fibonacci。

是否有类似的方法可以遵循 f（n）= f（n-1）+ f（n-x）+ f（n-x + 1）[x是某个常数]。

只需存储前面的x个元素，就可以在O（n）时间内解决。

有没有更好的方法来解决这种递归问题。

Answer 1

正如您已经怀疑的那样，这将非常相似。使用x * x矩阵的第n个幂

|1 0 0 0  .... 1 1|
|1 
|  1
|    1
|      1
|        1
...................
...................
|          ... 1 0|

如果将此矩阵与向量

相乘，这很容易理解

f(n-1), f(n-2), ... , f(n-x+1), f(n-x)

导致

f(n), f(n-1), ... , f(n-x+1)

矩阵取幂可以在O（log（n））时间内完成（当x被认为是常数时）。

对于Fibonacci重复，还有一个封闭的公式解决方案，请参阅此处http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number，查找Binet或Moivre公式。

Answer 2

您可能需要查看Tribonacci数字（以及Fibonacci数的其他推广。）它们已被广泛研究。参见例如Generalizations of Fibonacci numbers