Question

请验证我的逻辑，看看我正在尝试的是有效还是阴暗。

W(n) = W(n/2) + nlg(n)

W(1) = 1

n =2^k

尝试模式

line 1 : W (2^k) = W(2^k-1) + nlgn

line 2 :         = W(2^k-2) + nlgn + nlgn

...

line i :         = W(2^k-i) + i*nlgn

然后解决剩下的问题。

如果我在一个地方（在第1行）替换2 ^k而在n lg n替换另一个地方，我只是想确保它很酷。

我发现2^k for 2^k lg(2^k)中的副词变得非常油腻。

欢迎任何想法（特别是如果我应该在2 ^ k中进行补充，如果我应该，那么你会如何建议解决方案）

Answer 1

根据需要在n和2 ^k之间来回切换是很好的，因为你假设n = 2 ^k。但是，这并不意味着您拥有的内容是正确的。请记住，当n减小时，n log n的值也会不断减小，因此声明不是这样的

第i行= W（2 ^k-i）+ i * n lg n

是真的。

让我们再次使用迭代方法：

W（n）= W（n / 2）+ n log n

=（W（n / 4）+（n / 2）log（n / 2））+ n log n

= W（n / 4）+（n / 2）（log n - 1）+ n log n

= W（n / 4）+ n log n / 2 -n / 2 + n log n

= W（n / 4）+（1 + 1/2）n log n -n / 2

=（W（n / 8）+（n / 4）log（n / 4））+（1 + 1/2）n log n - n / 2

= W（n / 8）+（n / 4）（log n - 2）+（1 + 1/2）n log n - n / 2

= W（n / 8）+ n log n / 4 - n / 2 +（1 + 1/2）log n - n / 2

= W（n / 8）+（1 + 1/2 + 1/4）n log n - n

=（W（n / 16）+（n / 8）log（n / 8））+（1 + 1/2 + 1/4）n log n - n

= W（n / 16）+（n / 8）（log n - 3））+（1 + 1/2 + 1/4）n log n - n

= W（n / 16）+ n log n / 8 - 3n / 8 +（1 + 1/2 + 1/4）n log n - n

= W（n / 16）+（1 + 1/2 + 1/4 + 1/8）n log n - n - 3 / 8n

我们可以看看这个，看看我们是否发现了一个模式。首先，注意n log n项的系数为（1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...），因为我们不断向外扩展。该系列收敛到2，因此当迭代停止时，该项将在n log n和2 n log n之间。接下来，查看-n term的系数。如果你仔细观察，你会发现这个系数是-1倍

（1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ......）

这是i / 2 ⁱ的总和，它收敛于2.因此，如果我们迭代这个过程，我们将在每个步骤中找到值为Θ（n log n） - Θ（n），因此整体递归求解为Θ（n log n）。

希望这有帮助！

求解递归W（n）= W（n / 2）+ n log n？

1 个答案: