Question

假设

S(n) = Big-Oh(f(n)) & T(n) = Big-Oh(f(n))

两个f(n)同一属于同一个类。

我的问题是：为什么S(n)/T(n) = Big-Oh(1)不正确？

Answer 1

考虑S(n) = n^2和T(n) = n。然后，S和T都是O(n^2)，但S(n) / T(n) = n不是O(1)。

这是另一个例子。考虑S(n) = sin(n)和T(n) = cos(n)。然后S和T为O(1)，S(n) / T(n) = tan(n)不是O(1)。第二个例子很重要，因为它表明即使你有一个紧张的界限，结论仍然可能失败。

为什么会这样？因为明显的“证据”完全失败了。明显的“证据”如下。常量C_S和C_T以及N_S和N_T其中n >= N_S暗示|S(n)| <= C_S * f(n)且n >= N_T暗示|T(n)| <= C_T * f(n) 。让N = max(N_S, N_T)。那么对于n >= N我们有

|S(n) / T(n)| <= (C_S * f(n)) / (C_T * f(n)) = C_S / C_T.

这完全是错误的。 |T(n)| <= C_T * f(n)并不意味着1 / |T(n)| <= 1 / (C_T * f(n))。事实上，1 / |T(n)| >= 1 / (C_T * f(n))是真实的。不平等逆转，这表明“定理”存在严重问题。直观的想法是，如果T是“小”（即有界），则1 / T是“大”。但我们试图证明1 / T是“小”而我们就是不能这样做。正如我们的反例所示，“证据”存在致命缺陷。

然而，这里有一个定理是正确的。也就是说，如果S(n)为O(f(n))且T(n)为Ω(f(n))，则S(n) / T(n)为O(1)。上面的“证明”适用于这个定理（感谢Simone将这个想法推广到这个陈述）。

Answer 2

这是一个反例：

我们说f(n) = n^2，S(n) = n^2和T(n) = n。现在S和T都在O(f(n))中（您必须记住O(n^2)是O(n)的超集，因此O(n)中的所有内容也在O(n^2)中），但U(n) = S(n)/T(n) = n^2/n = n绝对不在O(1)。

Answer 3

与其他解释的一样，S（n）/ T（n）通常不是O（1）。

你的怀疑可能源于O和Θ之间的混淆;实际上如果：

S(n) = Θ(n)      and      T(n) = Θ(n)

然后是以下情况：

S(n) / T(n) = Θ(1)  and thus S(n) / T(n) = O(1)

Answer 4

如果将一些实际功能插入公式中，您可以证明这是错误的，例如

S(n) = n^2
T(n) = n
f(n) = n^2

S(n) / T(n) = n
n != O(1)

渐近符号的除法运算

4 个答案: