Question

根据this book，大O意味着：

f（n）= O（g（n））表示c·g（n）是f（n）的上限。因此存在一些常数c，使得f（n）总是≤c·g（n），足够大的n（即，对于某些常数n0，n≥n0）。

我对下面的大O方程有了理解

3n2 - 100n + 6 = O（n2），因为我选择c = 3且3n2> 3n2 - 100n + 6;

3如何成为一个因素？在3n2 - 100n + 6中，如果我们降低低位项-100n和6，那么3n2和3.n2不一样吗？如何解决这个等式？

Answer 1

我冒昧地将这个问题略微解释为：

为什么 $3n^2$ 和 $3n^2 - 100n + 6$ 具有相同的渐近复杂度。

为此，定义应该是双向的。

<小时/> 第一：

$3n^2 - 100n + 6 = O(3n^2)$
让 $c = 1$
$3n^2 \geq 3n^2 - 100n + 6$
$n \geq 3/50$

然后对于 $n > n_{0} = 1$ ，总是满足不等式。

<小时/> 反过来说：

$3n^2 = O(3n^2 - 100n + 6)$
让 $c = 2$
$2(3n^2 - 100n + 6) \geq 3n^2$
$3n^2 - 200n + 12\geq 0$

我们向上打开一个抛物线，因此再次有一些 $n_{0}$ ，之后总是满足不等式。

Answer 2

y = 3n ^ 2（上图）vs y = 3n ^ 2 - 100n + 6

考虑上面的草图。根据您的定义，对于足够大的n（即，对于某些常数n0，n≥n0），3n ^ 2仅需要大于3n ^ 2 - 100n + 6 。在这种情况下，让n0 = 5（它可能会稍微小一些，但是很明显哪个图表在n = 5时更大，所以我们只需要这样做）。

从图中可以清楚地看出，在我们绘制的范围内，3n ^ 2> = 3n ^ 2 - 100n + 6。 3n ^ 2 - 100n + 6大于3n ^ 2的唯一方法就是让它变得更加陡峭。

但3n ^ 2和3n ^ 2 - 100n + 6的梯度分别为6n和6n - 100，因此3n ^ 2 - 100n + 6不能生长得更陡峭，因此必须始终位于下方。

所以你的定义成立 - 3n ^ 2 - 100n + 6＆lt; = 3n ^ 2所有n＆gt; = 5

Answer 3

我不是专家，但这看起来与我们在实际分析课程中的相似。

基本上，如果你有类似f(n) = 3n^2 − 100n + 6的东西，那么“增长最快”的术语会“胜出”其他术语，当你真的很大的时候。

所以在这种情况下3n^2超过了100n，当n非常大时。

另一个例子是f(n) = n/n^2或f(n) = n! * n^2。

第一个变小，因为n根本无法跟上n ^ 2。在第二个例子中n！显然比n ^ 2增长得快，所以我想那个答案应该是f(n) = n!然后，因为n ^ 2在技术上会停止与大n的关系。

像+6这样没有影响它们的术语是常数，因为即使n增长它们也不会增长，因此它们的含量甚至更少。

当n非常大时，这就是所发生的事情。如果你的n是34934854385754385463543856，那么n ^ 2是一个大于100n的地狱，因为n ^ 2 = n * n = 34934854385754385463543856 * 34934854385754385463543856。

Answer 4

让我们看看您为f(n) in O(g(n))发布的定义：

f（n）= O（g（n））表示c·g（n）是f（n）的上限。因此有存在某个常数c ，使得f（n）总是≤c·g（n）， 足够大n （即，对于某些常数n0，n≥n0）。

因此，我们只需要找到一组满足

的常量（c，n0）

f(n) < c · g(n), for all n > n0,                         (+)

但此设置并非唯一。即，找到常数（c，n0）使得（+）成立的问题是退化。实际上，如果存在任何这样的常数对，则将存在无限量的不同的这样的对。

请注意，在这里我已经转向严格的不平等，这实际上只是一个品味问题，但我更喜欢后一种惯例。现在，我们可以用更容易理解的术语重新陈述Big-O定义：

...如果我们能找到一个常数c，我们可以说f（n）是O（g（n）） f（n）小于c·g（n）或全部n大于n0，即全部 N'GT; N0

现在，让我们看一下你的函数f（n）

f(n) = 3n^2 - 100n + 6                                   (*)

让我们将你的函数描述为它的最高项和另一个函数的总和

f(n) = 3n^2 + h(n)                                       (**)
h(n) = 6 - 100n                                          (***)

我们现在分别研究h（n）和f（n）的行为：

h(n) = 6 - 100n
what can we say about this expression?

    => if n > 6/100, then h(n) < 0, since 6 - 100*(6/100) = 0

        => h(n) < 0, given n > 6/100                     (i)

f(n) = 3n^2 + h(n)
what can we say about this expression, given (i)?

    => if n > 6/100, the f(n) = 3n^2 + h(n) < 3n^2

         => f(n) < c*n^2, with c=3, given n > 6/100      (ii)

确定！

从（ii）我们可以选择常数 c = 3 ，因为我们选择另一个常数n0大于6/100。让我们选择第一个满足此要求的整数： n0 = 1 。

因此，我们已经证明（+）金为常数集**（c，n0）=（3,1），随后， f（n）在O（n ^ 2）< / em>的

有关渐近行为的参考，请参见例如

https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/asymptotic-notation/a/big-o-notation

困惑于大O符号

4 个答案: