仍然有点混淆Big O符号

Question

所以我一直在尝试理解Big O符号，但仍有一些我很困惑的事情。所以我一直在读，如果某些东西是O（n），那么通常指的是算法的最坏情况，但是它并不一定要指最坏的情况场景，这就是为什么我们可以说插入排序的最佳情况例如是O（n）。但是，我无法理解这意味着什么。我知道如果最坏情况是O（n ^ 2），这意味着在最坏情况下表示算法的函数增长不快于n ^ 2（存在上限）。但如果你有O（n）作为最好的情况，我应该怎么读呢？在最好的情况下，算法增长不比n快？我的图片是以n为上限的图形，如

如果算法的最佳情况是O（n），则n是算法运算在最佳情况下增长的速度的上限，因此它们的增长速度不能比n ...但不会这意味着他们可以以O（log n）或O（1）的速度增长，因为它们低于上限？这没有意义，因为O（log n）或O（1）是比O（n）更好的场景，所以O（n）不是最好的情况吗？我很失落lol

Answer 1

Big-O，Big-Θ，Big-Ω独立于最坏情况，平均情况和最佳情况。

符号f（n）= O（g（n））意味着f（n）增长不会比g（n）的某个常数倍增长。
符号f（n）=Ω（g（n））表示f（n）增长不比g（n）的某些常数倍慢。
符号f（n）=Θ（g（n））表示上述两种情况均为真。

请注意，这里的f（n）可能表示输入大小为n的程序的最佳情况，最坏情况或“平均”运行时间。
此外，“平均”可以有很多含义：它可以表示平均输入或平均输入大小（“预期”时间），或者它可以表示 in从长远来看（摊销时间），或两者兼而有之。

通常，人们对程序的最坏情况运行时间感兴趣，在整个程序的运行时间内摊销（所以如果某些成本 n 最初但是对于下一个 n 元素只花费1次，平均每个元素的成本为2）。这里衡量的最有用的是最坏情况下的最小上限;所以，通常情况下，当你看到有人要求程序的Big-O时，这就是他们正在寻找的东西。

同样，为了证明问题本质上是困难的，人们可能会试图证明最坏情况（或者可能是平均情况）的运行时间至少 a一定数量（例如，指数） 你会为这些使用Big-Ω表示法，因为你正在寻找这些符号的下限。

然而，在最坏情况和Big-O之间，或者最佳情况和Big-Ω之间没有特殊关系 两者都可以用于其中之一，只是其中一个比另一个更典型。

因此，最佳案例的上限并不是非常有用。是的，如果算法总是花费O（n）时间，那么你可以说它是O（n）在最好的情况下，以及平均值，以及最坏的情况。这是一个非常好的陈述，除了最好的情况通常是非常微不足道的，因此本身并不有趣。

此外，请注意f（n）= n = O（n ² ） - 这在技术上是正确的，因为f比n ² 增长更慢，但是它无用因为它不是最小上限 - 有一个非常明显的上限比这个更有用，即O（n）。所以，是的，非常欢迎您说程序的最佳/最差/平均情况运行时间是O（n！）。这在数学上是完全正确的。它只是没用，因为当人们要求Big-O时，他们对至少上限感兴趣，而不仅仅是随机上限。

值得注意的是可能只是将程序的运行时间描述为f（n）。 运行时间通常取决于输入本身，而不仅仅是其大小。例如，甚至查询可能很容易回答，而奇数查询需要很长时间才能回答。
在这种情况下，您不能只将 f 作为 n 的函数 - 它也将依赖于其他变量。最后，请记住，这只是一组数学工具;这是你的工作，弄清楚如何将它应用到你的程序，并找出衡量一个有趣的东西。以有用的方式使用工具需要一些创造力，数学也不例外。

Answer 2

非正式地说，最佳案例有O（n）复杂度意味着当输入遇到 某些条件（即对于所执行的算法最好），然后是计数 在该最佳情况下执行的操作相对于n是线性的（例如，是1n或1.5n或5n）。 因此，如果最好的情况是O（n），通常这意味着在最好的情况下它是完全线性的 关于n（即渐近地不小于且不大于） - 见（1）。当然， 如果在最好的情况下，可以证明相同的算法最多执行c * log N操作 （其中c是一些常数），那么这个算法的最佳案例复杂性将是非正式的 表示为O（log N）而不是O（N），人们会说最好的情况是O（log N）。

从形式上讲，“算法的最佳案例复杂度为O（f（n））” 是一种非正式和错误的方式来说“算法的复杂性 是Ω（f（n））“（在Knuth定义的意义上 - 见（2））。

另见：

（1）Wikipedia "Family of Bachmann-Landau notations"

（2）Knuth's paper "Big Omicron and Big Omega and Big Theta"

（3） Big Omega notation - what is f = Ω(g)?

（4） What is the difference between Θ(n) and O(n)?

（5） What is a plain English explanation of "Big O" notation?

Answer 3

我发现将O()视为关于比率而不是关于边界更容易。它被定义为边界，因此这是一种有效的思考方式，但考虑“如果我将算法的输入数量/大小加倍，我的处理时间加倍（{{ 1}}），四重（O(n)）等......“。以这种方式思考它会使它变得不那么抽象 - 至少对我而言......