渐近符号

Question

这是MIT OpenCourse 算法简介分配渐近符号的问题：
对于以下每个陈述，判断渐近非负函数 f <始终为真，永远不是真，有时为真 < / em>和 g 。如果始终为真或从不为真，请解释原因。如果它是有时是真的，请给出一个它为真的示例，以及一个为假的示例。

f(n) ≠ O(g(n)) and g(n) ≠ O(f(n))   (both are Big-O notes)

我认为永远不是真的。这是我的证明：

   f(n) ≠ O(g(n))
=> f(n) = w(g(n))   (little-omega note)
=> g(n) = o(f(n))   (little-o note)
=> g(n) = O(f(n))   (big-O note)

结果与g(n) ≠ O(f(n)) (Big-O note)相矛盾。同样，

   g(n) ≠ O(f(n))
=> g(n) = w(f(n))   (little-omega note)
=> f(n) = o(g(n))   (little-o note)
=> f(n) = O(g(n))   (big-O note)

与f(n) ≠ O(g(n)) (Big-O note)相矛盾。

解决方案说有时是真的：

For f(n) = 1 and g(n) = ||n*sin(n)|| it is true,  
while for any f(n) = O(g(n)), e.g. f(n) = g(n) = 1, it is not true.

我的证明在哪里做错了？另外，我无法理解解决方案。 ||n*sin(n)||对我来说就像 vector norm 。

Answer 1

我认为n*sin(n)只是表明它是一个不断变大的功能。小于f(n) = 1的后续n值，即使是用于定义Big O＆amp;的常数乘数的所有选择。因此f(n) ≠ O(g(n)) and g(n) ≠ O(f(n))

天真选择的功能如g(n) = 2*sin(n)在这里不会有用。有人可能认为这也会在f(n) = 1左右交替，但g(n) = O(f(n)) : M*f(n) > g(n) for M = 3等

Answer 2

第一种情况并非如此：从f(n) ≠ O(g(n))开始，它不遵循：f(n) = w(g(n))。这两个函数可能在某个点交叉然后拍打地方，另一个变得更大（如果我使用简单的单词）。

他们选择的功能就是这种情况：对于n <= 1，第一个f（n）＆gt; g（n）存在与g（n）> 1的ns。 f（n）（例如pi / 2）。