写[（m + n）^ m] / m是否有效！作为O（[n / m] ^ m）作为其宽松上限？

Question

在将 [（m + n）^ m] / m！的上限写为 O（[n / m] ^ m）时，我考虑过那个 m！ = O（m ^ m）。

Answer 1

您所说的m!是o(m^m)。因此，您无法在A = (m+n)^m / m!中替换它来获得上限！相反，您可以使用斯特林逼近法来获得适当的上限。如我们所见（请参阅here）：

m! = \sqrt{2\pi m} (m/e)^m (1 + O(1/m))

通过将A替换为m!，可以获得(m/e)^m的上限。因此：

A < (n+m)^m / (m/e)^m = (e*(n+m)/m)^m = (e * (n/m + 1))^m

如果n > m，我们知道(n/m + 1)^m = Theta((n/m)^m)。因此，A \in O(e^m (n/m)^m)

Answer 2

不是。

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原因：在表达式（（m + n） ^m ）/ m！中，值为“ m！”。是分母。

在一个分数中，增加分母会使该数字更小。示例：数字4大于3。因此，当放入分母时，1/4小于1/3 ^* 。

对于小数，要获得更宽松的上限，您可以做两件事：

1. 增加分子；和/或，
2. 减少分母。

自从您接近：

• 您正在使分母变得宽松；因此，
• 您实际上正在增加分母；因此，
• 您正在达到较小的分数值；

借给您更严格的约束，而不是宽松的约束。

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^{*这里的小学数学：将比萨分成四个相等的部分并得到一个切片，而将比萨分为三个相等的部分并得到一个大切片-当仅将其分成3个时，您将获得更多的比萨人。}