是什么让NP难问题不是NP完全问题？

Question

我对NP难问题感到困惑 NP中存在一些NP难题，称为NP-Complete，有些不在NP中 例如：暂停问题只是NP难，而不是NP完全 但为什么它不是NP完全？我的意思是问题必须属于什么属性 “NP难但不是NP完全问题”？

Answer 1

我认为最简单的答案是：NP-complete = NP-hard AND in NP。

因此，为了表明问题是NP完全的，你必须证明它既是NP难的又是NP。通常，显示NP中的问题非常简单（只需给出非确定性多项式时间算法）。表明问题是NP难的，很难。因此，即使在NP- 完整性的证明中，大多数证据都专用于NP- 硬度。

至于暂停问题，它不能在NP中，因此不是NP完全。

Answer 2

NP的定义是，您可以在多项式时间内验证NP问题的解。因此，如果问题是NP难的，而不是NP完全问题，则无法在理论上及时地验证问题的解决方案。如果你看一下暂停问题，这是有道理的。解决方案是“是”或“否”，您只能通过再次解决原始问题来验证，这意味着它不在NP中。

Answer 3

NP-hard仅仅意味着“至少和NP中的问题一样难”。 NP-complete意味着“在NP中，所有NP完全问题都可以解决这个问题，这个问题可以简化为所有NP完全问题”。

The Wikipedia article可能是一个很好的起点，因为它专门讨论停止问题作为其插图之一。

Answer 4

简短回答：非NP完全的唯一NP难问题是那些不属于NP的问题。

答案很长：

现在，为什么？让我们仔细看看NP-complete和NP-hard的定义：

问题X是NP完全的，如果：

1. 在NP

2. NP中的每个问题都可以在多项式时间内简化为X.

如果问题X满足（2）（（1）不是必要条件），则问题X是NP难的。

在这些定义中，很明显得出结论认为NP难但非NP完全的唯一问题是NP中的问题。

例如，所有非决策问题的NP难问题都不是NP完全的（因为NP的定义是由决策问题形成的）。特别是旅行商问题的搜索版本：给定一个城市列表及其成对距离，任务是找到最短路径，每个城市只访问一次并返回原始城市。

TSP的搜索版本被证明是NP难的，但由于它不是一个决策问题（你不能通过回答是或否一个问题来解决它）它不是NP的一部分因此不能是NP完全的

暂停问题 是一个决策问题，但它在多时间不可验证（根据定义，问题在NP中的第二个要求），这就是为什么它不能完成NP。