我试图了解NP-Complete和NP-Hard之间的区别。
以下是我的理解
NP-Hard问题是在多项式时间内无法解决但在多项式时间内可以验证的问题。
NP-Complete问题是NP中的问题，也是NP-Hard问题。
以上定义是否正确？如果是这样，那么问题不是NP而是NP-Hard。难道它们不会比NP完全问题更难，说它们只能在指数时间内得到解决和验证吗？
答案 0 :(得分：12)
NP问题（不是NP-Hard问题）是决策问题，可以在多项式时间内验证。也许它们在多项式时间内是可解的，因为P中的所有问题也都在NP中。
NP-complete问题是决策问题，所有NP问题都可以在多项式时间内减少。它们是班级NP中最难的问题。
NP-hard类是问题的类，至少与NP-complete问题一样难。它们不一定是决策问题。鉴于我们不知道是否NP = P，我们很难说我们是否可以在多项式时间内验证NP-hard问题。
例如，最大集团的决策问题（给图表G一个整数K，以判断是否存在至少K个顶点的完整图表）是{{ 1}}问题。它也是NP和NP-complete。但是，最大团队问题（在给定图表中查找最大团队）不是NP-hard或NP，因为它不是决策问题。我们可以说它是NP-complete，因为它至少与最大集团问题的决策版本一样难。
答案 1 :(得分：2)
NP-Hard是问题的下限。不可能的问题也是NP-Hard。 NP-Complete意味着它是NP-Hard，同时NP-Solvable。
可以在多项式时间内验证的问题是NP中问题的定义之一。
答案 2 :(得分：2)
你对NP-Hard的定义不正确，它看起来更像是复杂性类NP的（不完全正确的）定义。
计算问题p在复杂性类NP中，如果它可以有效验证。在复杂性理论中，我们认为使多项式时间有效的计算。如果p ∈ NP 多项式时间可验证，则正式p。
在你的定义中，你提到了概念多项式时间可解决，它对应于复杂度类P. NP-Complete问题是多项式时间可解决如果和只有当P = NP时。请注意，着名的P vs NP是计算机科学中最大的开放性问题之一，因此目前没有人知道P = NP还是P⊊NP，并且不能说NP问题不是多项式时间可解的（虽然它被广泛认为相信就是这样。）
直观地说，NP-Hard问题是计算问题，至少与NP中的问题一样难以解决。当我们说计算问题p至少和另一个问题q一样困难时，我们实际上反过来考虑它 - 如果我们能够在时间T中解决p，那么我们也可以解决q及时与T大致相同（例如，因多项式因子而异）。
更准确地说，如果从p到q有polynomial-time reduction，我们说q至少与另一个问题p一样难。粗略地说，多项式时间减少意味着给定一个解算A的算法p，我们可以使用B作为黑盒来构造多项式时间算法A（即我们将A的时间复杂度视为O(1)）来解决q。
在NP-Hard问题的情况下，如果可以在多项式时间中解决NP-Hard问题，那么 ALL NP问题可以在
正如您在问题中所述，如果NP-Hard p，则计算问题p ∈ NP为NP-Complete。
如果存在不在NP中的NP-Hard问题（据我所知，此时此类问题没有被证明属于此类别），这样的问题比NP完全问题。
证明：假设我们的主张不正确。让p成为一个NP-Complete问题，至少和另一个问题q一样难以解决，这个问题是NP-Hard，但不是NP。由于p至少与q一样难，因此从P(n)到q我们的多项式时间减少（比如它在时间上p）。由于p位于NP中，因此可以通过某些算法A及时T(n)来验证，其中T是多项式。
现在给出r的任何实例q，我们可以先构建一个算法B，然后将其缩减为s的实例p，然后调用A验证s。请注意，B及时q验证T(P(n)) n，这是q中的多项式，它遵循{{1}}在NP中，这给我们带来了矛盾！
答案 3 :(得分：1)
您的定义仅适用于NP-complete。
从底部开始：P是多项式时间内某些确定性图灵机可以解决的问题类。 NP是一类问题，可以通过一些非确定性图灵机在多项式时间内解决（或者其解可以通过确定性图灵机在多项式时间内验证）。
对于NP-hard，它意味着具有以下属性的决策问题X：给定一个解决问题的图灵机，可以将NP中的任何问题实例重构（图灵减少）到多项式中的X实例时间。非正式地，这意味着NP难问题是“至少和NP一样难”的问题，或者X的解决方案可以应用于NP中的每个问题。请注意，问题不必在多项式时间内可验证，或者实际上可以验证。 NP-hard也包括不可判断和无法识别的问题。
我们不知道NP-hard是否包含可以在多项式时间内解决的问题（P？= NP问题）。目前，还没有找到针对NP难问题的单一多项式时间解决方案，但也没有证明这种解决方案不存在。如果找到某个NP难问题X的解决方案，则意味着P = NP，因为NP中任何问题的任何实例都可以在多项式时间内转换为X的实例（因为NP-hard的图灵减少属性）然后通过X的多项式时间解在多项式时间内求解。
答案 4 :(得分：0)
让我简单一点。
教授给他的学生一个问题，并要求他们提供一个有效的算法。
第二天，他的一些聪明的学生已经破解了算法来解决它。它具有 O（2 n ）的复杂性。现在，所有人都很高兴他们有算法来获得解决方案。一切都很好看。
教授很欣赏他们，但他说，“任务尚未结束”，并挑战他们实际使用系统来解决它。
因此，他们立即尝试在系统中模拟它。一名学生说，他的系统具有1 GIPS（每秒 1000,000,000 指令）的极佳速度，并且可以在几分之一秒内解决问题。因此，他们编写算法并尝试执行它。
然后他们从数据集的 100 输入开始，然后运行它。他们惊讶地发现程序运行并运行并运行并且不会停止。
然后另一名学生对其进行了数学计算并发现，系统将采用 2 100 / 10 9 秒来解决它。大约 2 40 年。
第二天，当程序仍在运行时，教授说，“非常好。亲爱的学生，这就是我们所说的 NP-Hard 。系统可能会提供解决方案有一天，但我担心我们不会在那里看到它“。
但是，同样的问题，一旦它产生解决方案，如果我们能够在实际时间内验证NP-Hard问题的解决方案，那么它被称为 NP-Complete 。例如，子集的总和是NP-Hard问题。但是，一旦我们得到子集解，我们就可以在多项式时间内轻松检查它。所以它变成了NP-Complete。