从书<导论==“” the =“” theory =“” of =“”计算=“”>中证明抽水引理是错误的吗？

Question

从书<Introduction to the Theory of Computation>中“抽取引理”的证明：

  

抽取引理：如果A是常规语言，则存在数字p   （抽水长度），如果s是长度A中的至少一个字符串   p，则s可分为三部分，s = xyz，满足   满足以下条件：

     

  
1. 对于每个i≥0，xyiz∈A，
  
2. | y | > 0和
  
3. | xy | ≤p
  

     

让M =（Q，Σ，δ，q1，F）是可以识别A的DFA。   抽水长度p为M的状态数。   长度为p的A中的字符串s可以分为三部分   xyz，满足我们的三个条件。 如果A中没有字符串属于   长度至少为p？那么我们的任务就更容易了，因为定理   变成虚无的事实：显然，三个条件都适用   如果没有这样的字符串，则长度至少为p的字符串。

问题：我认为这是错误的粗体部分。因为如果A中没有任何字符串的长度至少为p，那么显然这不是常规语言。

Answer 1

这里有两点需要澄清：

1. 泵激引理说：“如果一种语言是规则的，则该语言中所有长度至少为p的字符串都具有某些属性。”如果您的语言没有长度至少为p的字符串，则在没有反例的意义上，该语句为 vacuously 。如果x为假，则“如果x，则y”在数学上为 true 。从数学上讲，“如果月亮是由奶酪制成的，那么我就是法国的国王”。这可能与我们通常使用条件假设（假设假设通常（有条件地，假设地）是正确的）的方式有所不同。但这是它的正式含义。
2. 任何字符串长度至少为p的语言都具有长度严格小于p的字符串。因为字符串的长度必须是非负整数，所以这意味着长度有限。因为每个字符串的长度在该语言的字母表中对应于有限的许多可能的字符串，并且有限的有限项之和必须是有限的，所以任何这样的语言都必​​须是有限的。我们知道，有限的语言必须是规则的，无论抽引引理怎么说。无论如何，在这种情况下，常规语言的抽动引理本身并不关心，因此这里所说的是对还是错都是无关紧要的。对于字符串较短的语言，简单地说什么也不说，而要注意指出它的主张在这些情况下也是一致的，这样的混淆就不会那么困惑了。