如何解决：T（n）= T（n / 2）+ T（n / 4）+ T（n / 8）+（n）

Question

我知道如何对只调用一次的算法进行递归关系，但我不确定如何在一次出现时多次调用自身。

例如：

T(n) = T(n/2) + T(n/4) + T(n/8) + (n)

Answer 1

使用递归树。请参阅CLRS“算法简介”中的递归树的最后一个示例。

T（n）= T（n / 2）+ T（n / 4）+ T（n / 8）+ n。根将是n（成本）＆amp;分为3次递归。因此递归树如下所示：

T（n）= n = n         T（n / 2）T（n / 4）T（n / 8）（n / 2）（n / 4）（n / 8）                             T（n / 4）T（n / 8）T（n / 16）T（n / 8）T（n / 16）T（n / 32）T（n / 16）T（n / 32）T（ N / 64）

                                             n---------------------------------> n      

                             (n/2)         (n/4)           (n/8)--------------> (7/8)n

                         n/4 n/8 n/16  n/8 n/16 n/32  n/16 n/32 n/64)--------> (49/64)n
                                            ...         

最长路径：最左边的分支= n - ＆gt; n / 2 - ＆gt; n / 4 - ＆gt; ... - ＆gt; 1

最短分支：最右边的分支= n - ＆gt; n / 8 - ＆gt; n-> 64-＆gt; ... - ＆gt; 1

叶子数（l）：3 ^ log_8（n）＆lt; l＆lt; 3 ^ log_2（n）=＆gt; n ^ 0.5＆lt; l＆lt; N R个1.585

查看树 - 树木已满的log_8（n）级别，然后当我们下降时，更多＆amp;没有更多的内部节点。通过这个理论，我们可以给出界限，

T（n）= Big-Oh（求和j = 0至log_2（n）-1（7/8）^ j n）= ... =＆gt; T（n）= O（n）。 T（n）= Big-Omega（求和j = 0至log_8（n）-1（7/8）^ j n）= ... =＆gt; T（n）= Big-Omega（n）。

因此，T（n）= Theta（n）。

这里的要点是： T（n / 2）路径的长度最长......

这绝不是一个完整的三元树...高度= n＆amp;的基数2叶子数量必须少于n ...

希望，很可能这样你可以解决问题。

Answer 2

有两种方法可以解决这个问题。一个是展开递归并发现可能需要创造性并且可能非常难的相似性。另一种方法是使用Akra-Bazzi method。

在这种情况下g(x) = n，a1 = a2 = a3 = 1和b1 = 1/2，b2 = 1/4，b3 = 1/8。求解方程式

1/2^p + 1/4^p + 1/8^p = 1获得p = 0.87915。求解积分后，您将获得，这意味着复杂性为：O(n)

Answer 3

正如CLRS所说，可以通过数学归纳法将T(n)替换为cn。此归纳假设适用于n以下的数字。如上所述，我们需要证明参数值是n。因此，如下： 假设：T(n) <= cn代表n以下的数字； 结论：

T(n) = T(n/2) + T(n/4) + T(n/8) + n
    <= c/2*n + c/4*n + c/8*n + n
     = (7/8*c + 1) * n
    <= cn (when c >= 8)

仅此而已。

Answer 4

请参见图片以获取更好的解释-

树的高度：我们采用log（n）（基数2）是因为n / 2使树的长度比n / 4和n / 8更长。我们的GP系列将一直持续到k = logn（base）。

Answer 5

就像编码Fibonacci序列（艰难的方式）一样，你只需输入以下内容：

long fib(long n){
 if(n <= 1) return n; 
 else return fib(n-1) + fib(n-2);
}     

或者，更好的是，使用全局变量对其进行记忆以使其更快。再次，使用Fibonacci序列：

static ArrayList<Long>fib_global = new ArrayList(1000); 
  //delcare a global variable that can be appended to
long fib(long n){
   if(n >= fib_global.length)fib_global.add(fib(n-1) + fib(n-2));
   return fib_global.get(n);
}

代码一次只能执行其中一个调用，并且很可能是按照从左到右的顺序执行，这使得您只需要不必担心次数你需要打电话。