使用激励引理证明语言不是上下文无关的

Question

我有以下字母： Σ= {0，1，。 。 。 ，9} 并且 L 语言定义为：

L = {abc | a + b = c}

其中子字符串 a ， b 和 c 被解释为普通整数。

到目前为止我的回答：

假设 L 是上下文无关的。然后，上下文无关语言的抽水式引理适用于 L 。

让 n 为抽水引理给出的常数。

让 z = 10 ^ n20 ^ n30 ^ n显然z∈L和| z | ≥n

根据引理，我们知道 z = uvwxy，其中 n ≥| vwx |和| vx | ≥1

存在可能性...

我的问题：

我可以看到8种可能性，其中vwx可以在z内。例如，在开头包括1，并与初始0 ^ n重叠。另一个例子是初始的0 ^ n。这是思考这个特定问题的一种方法吗？如何抽取并显示结果不属于L？

谢谢您的时间。

Answer 1

我认为您选择单词也是可行的，但是我会选择一个更简单的单词（对我来说）来显示相同​​的内容。您可能可以使它适应您选择的字符串。

选择w =（1 ^ p）（2 ^ p）（3 ^ p），其中p来自无上下文语言的抽运引理。首先，请注意11 ... 1 + 22 ... 2 = 33 ... 3，所有数字都有p位数字。现在，如果w = uvxyz，则对于vxy的位置有五种简单的情况：

1. vxy仅包含1。在这种情况下，抽空（除去1的至少之一）必须导致字符串不是该语言。由于添加任何数字都不会产生进位，因此该字符串必须在a，b和c的三个等长部分中被整除。这些数字必须完全相同。因此，从前面删除3k个数字，会将2的k中的k拖入a，将3s的2k中的b拖入b。但是，那么a + b的最低有效位必须为5，这不是w中的符号。
2. vxy由1和2​​组成。在这种情况下，抽真空（除去1和2的某个数字）必须导致字符串不是该语言。由于添加任何数字都不会产生进位，因此该字符串必须在a，b和c的三个等长部分中被整除。这些数字必须完全相同。从1和2中删除3k位必须将3s拉入b。因此，a + b的最低有效数字至少为4（因为w不包含0），而4不是w中的数字。
3. vxy由2组成。此处的参数与上面第二种情况相同。
4. vxy由2和3组成。在这种情况下，升压最终必须将2放入a和b中，以便数字重叠，因此我们得到与上述相同的4/5数字问题。
5. vxy仅包含3个。再次，在这种情况下加油最终必须将3放入b，从而导致4/5位数的问题。

插图：

w = 1 ^ p 2 ^ p 3 ^ p，抽气至1 ^（p-3）2 ^ p 3 ^ p，a = 1 ^（p-3）22，b = 2 ^（p- 2）3，c = 3 ^（p-1），a + b的最低有效位是5，太高了，不能正确。 w = 1 ^ p 2 ^ p 3 ^ p，抽气至1 ^（p-1）2 ^（p-2）3 ^ p，a = 1 ^（p-1），b = 2 ^ （p-2）3，c = 3 ^（p-1），同样，最低有效位4也太高了。 w = 1 ^ p 2 ^ p 3 ^ p，抽气至1 ^ p 2 ^（p-3）3 ^ p，a = 1 ^（p-1），b = 1 2 ^（p- 3）3，c = 3 ^（p-1）。同样，最低有效位4也过高。 w = 1 ^ p 2 ^ p 3 ^ p，泵浦至1 ^ p 2 ^（p + 1）3 ^（p + 2），a = 1 ^ p 2，b = 2 ^ p 3， c = 3 ^（p + 1）。现在最低有效位数太高了。 w = 1 ^ p 2 ^ p 3 ^ p，泵浦至1 ^ p 2 ^ p）3 ^（p + 3），a = 1 ^ p 2，b = 2 ^（p-1）33 c = 3 ^（p + 1）。 LSD仍然太高。