Question

我试图证明语言{w∈{a，b，c} * | n_a（w）＆lt; n_b（w）和n_a（w）＆lt; n_c（w）}不是使用Pumping Lemma的CFL。符号“n_a”表示“a”的数量。

对于泵浦引理，z = u（v ^ i）x（w ^ i）y，| vxw | ＆lt; = m，| vw | ＆gt; = 1。

我选择使用字符串z =（a ^ m）b ^（m + 1）c ^（m + 1）来表明这不是CFL。

但是，我坚持以下情况。

假设'uvx'代表'z'的（a ^ m）部分，'w'代表'z'的（b ^ m）部分的开头，'y'代表'z'的其余部分。

现在为i = 2抽水，我们得到z'= u（v ^ 2）x（w ^ 2）y = a ^（m + | v |）b ^（m + 1 + | w |）c ^（m + 1）。

每当| v | ≠0，我们看到这不在语言中，因为n_a（z'）不小于n_c（z'）。但是，对于| v |的情况= 0，我们得到z'= a ^（m）b ^（m + 1 + | w |）c ^（m + 1），这是语言中的IS。因此，i = 2的泵送不起作用。这是对的吗？

我试过了'i'的其他值，但我仍然无法证明这种语言不是CFL。我究竟做错了什么？这种语言实际上是无背景的吗？我应该使用完全不同的'z'字符串吗？

Answer 1

让R成为表示以下内容的非终端：

最终产品中不再有a b或c

另有说明：

适用于w ϵ G(R)，n_a(w) <= n_b(b)和n_a(w) <= n_c(w)

所以这个人的规则是（让ϵ为空字符串）：

R => ϵ

R => bR
R => Rb
R => cR
R => Rc

R => abcR
R => abRc
R => aRbc
R => Rabc

R => acbR
R => acRb
R => aRcb
R => Racb

R => bacR
R => baRc
R => bRac
R => Rbac

R => bcaR
R => bcRa
R => bRca
R => Rbca

R => cbaR
R => cbRa
R => cRba
R => Rcba

R => cabR
R => caRb
R => cRab
R => Rcab

这29个是所有可能的转换，保证从R派生的任何单词不会比a更多b s，而a s不会c {1}}秒。

但问题不在于G(R)，明确指出n_a(w) <= n_b(b)和n_a(w) <= n_c(w)。所以，我还有3个非终端：

S，起点
B，直接或间接来自S并保证至少再有b而不是a（考虑它是如何＆＃34;天生＆＃34;）
C，直接或间接来自S并保证至少再有c而不是a（考虑它是如何＆＃34;天生＆＃34;）

我的策略如下：

那些非终端将与R类似，但他们不会有任何空转换;此外，来自S我将进行转换，生成bB，Bb，cC或Cc;来自B，保证至少有b个a，然后它会转换为cR或Rc;对于C，转换为bR或Rb

所以，这将是我的完整语法，从S开始：

S => bB
S => Bb
S => cC
S => Cc

S => bS
S => Sb
S => cS
S => Sc

S => abcS
S => abSc
S => aSbc
S => Sabc

S => acbS
S => acSb
S => aScb
S => Sacb

S => bacS
S => baSc
S => bSac
S => Sbac

S => bcaS
S => bcSa
S => bSca
S => Sbca

S => cbaS
S => cbSa
S => cSba
S => Scba

S => cabS
S => caSb
S => cSab
S => Scab

B => cS
B => Sc

B => bB
B => Bb
B => cB
B => Bc

B => abcB
B => abBc
B => aBbc
B => Babc

B => acbB
B => acBb
B => aBcb
B => Bacb

B => bacB
B => baBc
B => bBac
B => Bbac

B => bcaB
B => bcBa
B => bBca
B => Bbca

B => cbaB
B => cbBa
B => cBba
B => Bcba

B => cabB
B => caBb
B => cBab
B => Bcab

C => bR
C => Rb

C => bC
C => Cb
C => cC
C => Cc

C => abcC
C => abCc
C => aCbc
C => Cabc

C => acbC
C => acCb
C => aCcb
C => Cacb

C => bacC
C => baCc
C => bCac
C => Cbac

C => bcaC
C => bcCa
C => bCca
C => Cbca

C => cbaC
C => cbCa
C => cCba
C => Ccba

C => cabC
C => caCb
C => cCab
C => Ccab


R => ϵ

R => bR
R => Rb
R => cR
R => Rc

R => abcR
R => abRc
R => aRbc
R => Rabc

R => acbR
R => acRb
R => aRcb
R => Racb

R => bacR
R => baRc
R => bRac
R => Rbac

R => bcaR
R => bcRa
R => bRca
R => Rbca

R => cbaR
R => cbRa
R => cRba
R => Rcba

R => cabR
R => caRb
R => cRab
R => Rcab

使用Pumping Lemma

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