Question

我正在尝试两次计算以下函数的时间复杂度。我尝试了两种不同的方法

1）由于几乎每次都会有两个递归调用。我们可以将递归关系写为T(n)=2T(n/2)+c。这给了我们O(logn)。

2）但是我们也可以说递归调用的总数为等于n，这使我们的时间复杂度为O(n)。因为每次次数都变成一半，但是有两个递归调用。

哪个是正确的？

我从这里看到了第二种方法https://www.geeksforgeeks.org/write-a-c-program-to-calculate-powxn/

请参见上面链接中方法1的时间复杂度

注意->我知道我们可以存储power（x，n / 2）的结果。

/* Function to calculate x raised to the power n */

int power(int x, unsigned int n) 
{ 
    if (n == 0) 
        return 1; 
    else if (n%2 == 0) 
        return power(x, n/2)*power(x, n/2); 
    else
        return x*power(x, n/2)*power(x, n/2); 
}

Answer 1

1）由于几乎每次都会有两个递归调用。我们可以将递归关系写为T(n)=2T(n/2)+c。这给了我们O(logn)。

您在某种程度上犯了一个错误。 T （ n ）== 2‍ T （ n / 2）+ c 可以 not 给出 O （log n ）;而是给出 O （ n ）。（这属于https://en.wikipedia.org/wiki/Master_theorem_(analysis_of_algorithms)的情况1。）

2）但是我们也可以说递归调用的总数为等于n，这使我们的时间复杂度为O(n)。因为每次次数都变成一半，但是有两个递归调用。

这是正确的。

Answer 2

所以T（n）= 2T（n / 2）+ c 实际上，这本身就是O（n）。

这是对此的正式证明。 T（n）= 2T（n / 2 ^ 1）+ c（2 ^ 0）

进一步突破

T（n）= 2（2T（n / 2 ^ 2）+ c）+ c（2 ^ 0）

简化：

T（n）= 2 ^ 2 T（n / 2 ^ 2）+ c（2 ^ 0）+ c（2 ^ 1）

如果进一步尝试，可以尝试得到这样的表达式

T（n）= 2 ^ 3 T（n / 2 ^ 3）+ c（2 ^ 0）+ c（2 ^ 1）+ c（2 ^ 2）

现在关键是您能将它破解多远，应该到2 ^ something等于n以便n / n = 1且T（1）恒定的时候。

可以轻松地将某些东西计算为log（n）base（2）。

因此，通过检查，您可以预测您的最终表达将像这样

T（n）= 2 ^ log（n）T（n / 2 ^ log（n））+ c（2 ^ 0）+ c（2 ^ 1）+ ........ + 2 ^（log（n）-1）

=n T(1)+c(2^0+2^1+2^2+.......2^(log(n)-1))

=n T(1)+c(n-1)

因此

T（n）=（T（1）+ c）n-c，它是o（n）。

分而治之的时间复杂度

2 个答案: