Question

我们有一系列代表价格的数字。例如，我们有[10,4,6,8,2,5,3,9,1]。我们想知道何时是购买和出售以获得最大利润的最佳时机。在这种情况下，我们会在时间[4] = 2时买入并在时间[7] = 9时卖出，获利9-2 = 7。

在数学上，我们正在寻找a和b，其中＆lt; = b和时间[b] - 时间[a]是最大的。

使用分而治之制作具有复杂度O（nlogn）的算法有点微不足道。我一直在寻找具有最坏情况O（n）的算法一段时间没有任何成功。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

这里不需要分而治之。从最旧到最新的价格迭代数组，并在每一步比较当前价格和迄今为止发现的最低价格。

Answer 2

[10,4,6,8,2,5,3,9,1]。

将上面的列表转换为O（n）中的渐变。 [-6,2,2，-6,3，-2,6，-8]

应用Kadane算法查找最大子阵列O（n）： http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_subarray_problem

^修改以存储起始位置和结束位置。

使用kadane算法的起始位置查找原始数组的起始和结束位置。

Answer 3

如果我们作为第一步预先计算一个向量，该向量指定索引i的每个范围（0，i-1）的最低价格，然后计算如果我们在索引i处出售的最大值，我们可以在O（n）时间内轻松计算出来：

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    vector<int> prices{10, 4, 6, 8, 2, 5, 3, 9, 1};
    // sell at time [i] requires buy at minimum in range [0,i-1]
    // create vector of index at minimum for each range
    int currentMinimumIndex = 0;
    vector<int> minimums{0};
    for(size_t i = 1; i < prices.size(); ++i)
    {
        if (prices[i] < prices[currentMinimumIndex])
        {
            minimums.emplace_back(i);
            currentMinimumIndex = i;
        }
        else
            minimums.emplace_back(currentMinimumIndex);
    } // O(n)

    // at this point we have a lookup table for minimum in every range

    // attempt to maximize amount we can get if we sell at time i buy buying at minimum for (0,i-1)
    vector<int> maxSales{std::numeric_limits<int>::min()};
    for(size_t i=1;i<prices.size();++i)
    {
        maxSales.emplace_back(prices[i] - prices[minimums[i]]);
    } // O(n)

    // find maximum element
    auto maxSum = std::max_element(std::begin(maxSales), std::end(maxSales)); // O(n)
    auto sellAt = std::distance(std::begin(maxSales), maxSum);
    auto buyAt = minimums[sellAt];
    std::cout << "Maximum profit is " << *maxSum << std::endl;
    std::cout << "If we buy at index " << buyAt << " (price: " << prices[buyAt] << ")"
    << " and sell at " << sellAt << " (price: " << prices[sellAt] << ")" << std::endl;

    return 0;
}

输出：

最大利润为7 如果我们以指数4（价格：2）买入并以7（价格：9）卖出

Live Example

编辑：这是一种动态编程esque方法，我现在意识到它有点矫枉过正。如果我们做hugomg said那么我们只是从左到右迭代，存储到目前为止找到的最小值。在每个新索引i处，我们执行减法以查看是否有新的最大价格。线性时间，空间恒定。

在线性复杂性中划分和征服算法？

3 个答案: