分而治之算法的时间复杂度会产生两个不均匀的子问题。

Question

我正在使用一种非常具体的分而治之算法，该算法总是将n个元素的问题分为两个子问题，其中n / 2 - 1和n / 2 + 1个元素。

我很确定时间复杂度仍然是O（n log n），但我想知道我怎么能正式证明它。

Answer 1

在每个递归级别上完成“有用的工作”是一些函数f(n)：

让我们观察当我们反复将其替换回来时会发生什么。

1. T(n)条款：

发现模式？

递归深度m：

• T
的递归调用
• T的每个参数中的第一个字词是
• 第二个字词的范围从到，步长为

因此，每个级别的所有T - 术语的总和由下式给出：



1. f(n)条款：



看起来很熟悉？

f(n)字词正好是一个递归级别隐藏在 T(n)条款之后。因此，根据前面的表达式，我们得出以下总和：



但是请注意，我们只从一个 f - term开始，因此这个总和有一个无效的边缘情况。但是，这很容易纠正 - m = 1的特殊情况结​​果只是f(n)。

结合上述内容，并总结每个递归级别的f项，我们得到T(n)的（几乎）最终表达式：



我们接下来需要查找T - 术语的第一个求和何时终止。我们假设是n ≤ c。

直接终止的最后调用具有最大的参数，即调用：



因此最终表达式由：

给出



回到原来的问题，什么是f(n)？

你还没有说明这是什么，所以我只能假设每次通话完成的工作量是ϴ(n)（与数组长度成正比）。因此：

  



     

你的假设是正确的。

请注意，即使我们有像

这样的更通用的东西



a某些常量不等于1，我们仍然得{4}}，因为上述等式中的项取消出：