Question

假设坐标（x1，y1）中的一个点支配另一个点（x2，y2），如果x1≤x2且y1≤y2;

我有一组点（x1，y1），....（xn，yn），我想找到支配对的总数。我可以通过将所有点相互比较来使用强力来做到这一点，但这需要时间O（n ²）。相反，我想用分而治之的方法在时间O（n log n）中解决这个问题。

现在，我有以下算法：

绘制一条垂直线，将点集点分为两个相等的子集P _left和P _right。作为基本情况，如果只剩下两点，我可以直接比较它们。
递归计算P _left和P _right
一些征服步骤？

问题在于我无法看到“征服”步骤应该在这里。我想计算有多少支配对从P _left到P _right，但我不知道怎么做而不比较两者中的所有点部分，需要时间O（n ²）。

任何人都可以给我一个关于如何做征服步骤的提示吗？ this is my example

所以y坐标的两半是：{1,3,4,5,5}和{5,8,9,10,12}

我画了分界线。

Answer 1

假设您按两个y坐标按升序分别对两半中的点进行排序。现在，看看两半中最低的y值。如果左边的最低点的y值低于右边的最低点，则该点由右边的所有点控制。否则，右边的底部点不会占据左边的任何东西。

在任何一种情况下，您都可以从两半中的一半中删除一个点，并使用剩余的排序列表重复该过程。这样O（1）每点工作，所以如果总共有n个点，那么O（n）工作（排序后）就可以计算两半中支配对的数量。如果你以前见过它，这类似于计算数组中反转的算法。

考虑到对点进行排序所需的时间（O（n log n）），这个征服步骤需要O（n log n）时间，给出重现

T（n）= 2T（n / 2）+ O（n log n）

根据Master Theorem解决了O（n log ² n）。

但是，你可以加快速度。假设在你开始划分amd征服步骤之前，你用y坐标预先分配点，做一次O（n log n）工作。使用与最接近的点对问题类似的技巧，然后可以在每个大小为n的子问题（参见the discussion at this bottom of this page）中以O（n）时间对每一半中的点进行排序以获取详细信息。这会将重复发生变为

T（n）= 2T（n / 2）+ O（n）

根据需要解决O（n log n）。

希望这有帮助！

Answer 2

通过这种方式，你只需要O（n ^ 2）来划分子集...
我的方法会有所不同

按X ... O（n.log（n））
现在检查Y.
- 但只检查具有较大X的点（如果您按升序排序，则使用较大的索引）
所以现在你有O（n.log（n）+（n.n / 2））

您还可以通过单独的X和Y测试进一步加快速度，然后结合结果，这将导致O（n + 3.n.log（n））

为您的积分添加索引属性
- 其中index = 0xYYYYXXXXh是无符号整数类型
- YYYY是Y排序数组中的点索引
- XXXX是X排序数组中的点索引
- 如果你有超过2 ^ 16个点使用更大的32位数据类型。
按升序排序X并设置其索引O1的一部分XXX（n.log（n））
按升序排序，并设置YYYY部分索引O2（n.log（n））
按升序索引O3（n.log（n））
现在点i支配任何点j if（i＆lt; j）
- 但是如果您需要为任何点创建实际的所有对
- 这将采取O4（n.n / 2）所以这种方法将节省不了一点时间
- 如果您只需要单对任何一点，那么简单的循环就足够了O4（n-1）
- 所以在这种情况下O（n-1 + 3.n.log（n）） - ＆gt; 〜O（N + 3.n.log（n））的

希望它有所帮助，...当然，如果你坚持使用细分方法，那么我没有更好的解决方案。

PS。对于这个你不需要任何额外的递归只需3x排序和任何点只有一个uint因此内存要求不是那么大，甚至应该比递归调用细分递归更快

Answer 3

此算法在 O（N * log（N））中运行，其中N是点列表的大小，它使用 O（1）额外空格。

执行以下步骤：

按y坐标（升序）对点列表进行排序，断开连接 x坐标（升序）。
按相反的顺序浏览排序列表以计算主导点：如果到目前为止遇到的当前x坐标> = max x-坐标值然后递增结果并更新最大值

这是有效的，因为您确定如果所有具有更大y坐标的对具有比当前点更小的x坐标，则您找到了支配点。排序步骤使其真正高效。

这是Python代码：

def my_cmp(p1, p2):
    delta_y = p1[1] - p2[1]
    if delta_y != 0:
        return delta_y
    return p1[0] - p2[0]

def count_dom_points(points):
    points.sort(cmp = my_cmp)
    maxi = float('-inf')
    count = 0
    for x, y in reversed(points):
        if x >= maxi:
        count += 1
        maxi = x

    return count

用于计算支配点的分而治之算法？

3 个答案: