Question

大小为n的实例分为p≥2个实例，每个实例的大小为n-a，其中a为小integer且p为一个constant。该操作的计算成本（即分成实例）是一个单位，C(0)=1.

我试图找到这种设计的复杂性。我无法将这些单词放入等式中，这就是我认为递归应该是这样的：

C(n) = (n-a)*C(n/p) + 1

这是正确的吗？

Answer 1

我认为会是这样的：

C(n) = (p)*C(n-a) + 1

我的理由是你在你的问题中说'p≥2个每个大小为n-a'的实例。因此，大小减少到C(n-a)并且存在p个子问题。所以我认为它会像p*C(n-a)。你的另一个名词是正确的。正如您所说，每一步的划分成本为C(0) = 1。

Answer 2

嗯，因为这看起来像是一个学校作业，特别是因为措辞“低效的分治算法”，我也不会直接回答它。

我的建议是以a=1和p=2为例。在这种情况下，您必须解决两个大小为n-1的子问题，然后花费1个单位时间来组合解决方案。如果你花费1个单位的时间来解决n=1，即C(1)=1，那么你得到

C(1)=1
C(2) = 2*C(1) + 1 = 3
C(3) = 2*C(2) + 1 = 7
C(4) = 2*C(3) + 1 = 15

等。所以你得到C(n) =2^n - 1。如果a不是1，这基本上是相同的：你只需要加注n/a而不是n。

顺便说一句，将a称为“小整数”并不是特殊的，而p是“常数”吗？当然，这两种表达方式都是一样的。就渐近行为而言，所有常数都是“小的”。

Answer 3

正如Shashank写的那样C（n）=p⋅C（n-a）+ 1是正确的。

我只想提一下，这会导致

C（n）=Σ_{i = 0，...，n / a} p ⁱ = p ^{n / a + 1} - 1

所以C（n）在O（p ^{n / a}）中，在n中呈指数。