Question

我有一个从属类型，可为过渡系统中的有限路径建模。过渡系统具有函数R，该函数产生一个命题，说明在状态s和s'之间是否带有标签a。有限路径类型为：

  Inductive FinPathTail (s : S i) :=
  | FPTNil: FinPathTail s
  | FPTCons (a : Act i) (s' : S i) : R i s a s' ->
                                     FinPathTail s' -> FinPathTail s.

（“ tail”位是因为它实际上对从s开始的路径的头部以外的路径进行了建模）。

我已经为可能无限的PathTail定义了CoInductive类型（我将其粘贴在底部以便更快地解决问题），并且我有一个函数fpt_to_pt可以将FinPathTail转换为一个PathTail。这应该“显然”是内射的，所以我想证明这种形式的引理：

Lemma fpt_to_pt_inj {s : S i} (fpt fpt' : FinPathTail s)
  : (forall s s' : S i, {s = s'} + {s <> s'}) ->
    fpt_to_pt fpt = fpt_to_pt fpt' -> fpt = fpt'.

当试图通过对fpt的归纳来证明这一点时，我很快就得出了双方都是已知问题的情况。目标最终看起来像：

PTCons s a s' r (fpt_to_pt fpt) = PTCons s a2 s'2 r2 (fpt_to_pt fpt') ->
FPTCons s a s' r fpt = FPTCons s a2 s'2 r2 fpt'

我想用injection策略分解的

。结果最终像这样：

existT (fun s'0 : S i => PathTail s'0) s' (fpt_to_pt fpt) =
existT (fun s'0 : S i => PathTail s'0) s'2 (fpt_to_pt fpt') ->
s' = s'2 -> a = a2 -> FPTCons s a s' r fpt = FPTCons s a2 s'2 r2 fpt'

并使用inversion_sigma策略，可以将其转换为：

B : s' = s'2
C : a = a2
A0 : s' = s'2
A1 : eq_rect s' (fun a : S i => PathTail a) (fpt_to_pt fpt) s'2 A0 = fpt_to_pt fpt'

我想我理解为什么要使用inj_pair2_eq_dec才能对源域进行可判定性。我不明白的是：r和r2发生了什么？我知道我没有证明无关紧要的意思，但这不是意味着为了使精简相等，它们必须相等。还是我误解了一些关于命题的基本知识？

PS：这是PathTail的共同定义：

CoInductive PathTail (s : S i) :=
| PTNil: PathTail s
| PTCons (a : Act i) (s' : S i) : R i s a s' -> PathTail s' -> PathTail s.

Answer 1

显然，injection策略默认情况下会忽略证明之间的相等性，但是您可以使用Keep Proof Equalities flag来覆盖此行为：

Inductive foo : nat -> Prop :=
| Foo (n : nat) : foo n.

Inductive bar :=
| Bar (n : nat) : foo n -> bar.

Lemma test n nn m mm : Bar n nn = Bar m mm -> False.
Proof.
intros H. injection H. (* No equality generated. *)
Abort.

Set Keep Proof Equalities.

Lemma test n nn m mm : Bar n nn = Bar m mm -> False.
Proof.
intros H. injection H. (* Equality generated. *)
Abort.

破坏coq相等时的证明（不完全）无关紧要

1 个答案: