Question

给出一个从属记录类型：

Record FinPath : Type := mkPath { fp_head : S i;
                                  fp_tail : FinPathTail fp_head
                                }.

和两个Path类型的对象相等，我想推断它们的头和尾是相等的。问题是我很快就得到了这种形式的东西：

fpH : {| path_head := fp_head fp; path_tail := fpt_to_pt (fp_tail fp) |} =
      {| path_head := fp_head fp'; path_tail := fpt_to_pt (fp_tail fp') |}

使用注入策略，我可以推断出fp_head fp = fp_head fp'以及这个术语：

existT (fun path_head : S i => PathTail path_head) (fp_head fp)
       (fpt_to_pt (fp_tail fp)) =
existT (fun path_head : S i => PathTail path_head) (fp_head fp')
       (fpt_to_pt (fp_tail fp'))

假设S i的可判定性，我通常会想使用inj_pair2_eq_dec，但这在这种情况下不适用，因为fp_head fp和fp_head fp'并不是语法上的相同。我也无法用相同的方式重写它们，因为用fp_head fp' = fp_head fp进行重写会导致右侧的打字错误。

如何从这里继续？ inj_pair2_eq_dec是否有一个更聪明的版本，以某种方式使用（非语法）基等式而不是要求sigma类型的基数相等？

编辑：稍微思考一下，我意识到要求尾巴相等是没有意义的（因为尾巴的类型不同）。但是有可能基于eq_rect证明他们之间某种形式的莱布尼兹平等吗？

Answer 1

像这样的问题是为什么许多人更喜欢在Coq中避免依赖类型的原因。对于Coq sigma类型{x : T & S x}，我将回答您的问题，该类型可以推广到其他从属记录。

我们可以通过强制转换函数来表达该对依赖组件应该满足的相等性：

Definition cast {T} (S : T -> Type) {a b : T} (p : a = b) : S a -> S b :=
  match p with eq_refl => fun a => a end.

Definition eq_sig T (S : T -> Type) (a b : T) x y
  (p : existT S a x = existT S b y) :
  {q : a = b & cast S q x = y} :=
  match p in _ = z return {q : a = projT1 z & cast S q x = projT2 z} with
  | eq_refl => existT _ eq_refl eq_refl
  end.

cast函数允许我们使用等式p : a = b从S a转换为S b。我通过证明术语定义的eq_sig引理说，给定两个依赖对p和existT S a x之间的等式existT S b y，我可以产生另一个依赖对包含：

等式q : a = b和
证明x和y在投射后等于。

使用类似的定义，我们可以提供一个证明原理，用于“归纳”相关对之间的相等性证明：

Definition eq_sig_elim T (S : T -> Type) (a b : T) x y
  (p : existT S a x = existT S b y) :
  forall (R : forall c, S c -> Prop), R a x -> R b y :=
  match p in _ = z return forall (R : forall c, S c -> Prop), R a x -> R _ (projT2 z) with
  | eq_refl => fun R H => H
  end.

引理的形状与eq_sig相似，但这一次它表示在存在这样的相等性的情况下，我们可以证明任意依赖谓词{{1} }提供了R b y的证明。

使用这种依赖原则可能很尴尬。面临的挑战是找到一个R a x来表达自己的目标：在上面的结果类型中，R的第二个参数的类型相对于第一个参数是参数性的。在许多感兴趣的情况下，第二项的第一成分R不是变量，而是具有特定的形状，这可能会阻止直接概括。

破坏Coq

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