Question

当试图形成与代数结构相对应的类（例如所有幺半群的类）时，自然设计是创建一个类型monoid (a:Type)作为产品类型，它模拟所有必需的字段（元素e:a，一个运算符app : a -> a -> a，证明幺半群定律得到满足等等。在这样做时，我们正在创建地图monoid: Type -> Type。这种方法的一个可能的缺点是给定一个幺半群m:monoid a（一个支持类型a的幺半群）和m':monoid b（一个支持类型为b的幺半群），我们甚至不能写等式m = m'（更不用说证明它）因为它是错误的类型。另一种设计是创建一个类型monoid，其中支持类型只是另一个字段a:Type，因此给定m m':monoid，询问m = m'是否总是有意义的。不知何故，有人想说如果m和m'具有相同的支持（a m = a m）并且运算符等于（app m = app m'，这可能是由于某些扩展等式公理，并且证明字段无关紧要（因为我们有一些证明不相关公理）等，然后是m = m'。不幸的是，我们无法表达平等app m = app m'，因为它是错误的...

为了简化问题，假设我们有：

Inductive myType : Type :=
| make : forall (a:Type), a -> myType.
.

我希望得到以下表格的结果：

forall (a b:Type) (x:a) (y:b), a = b -> x = y -> make a x = make b y.

这种说法是错误的，所以我们不能拥有它。

我可能有公理允许我证明两种类型a和b是相同的，我可以证明x和y确实是同样也是，但我希望有一个工具让我得出结论make a x = make b y。任何建议都是受欢迎的。

Answer 1

证明这一点的低技术方法是使用提供的相等性来插入手动类型转换。也就是说，您没有假设x = y，而是假设(CAST q x) = y。下面我明确地将转换编写为匹配，但你也可以通过定义一个函数来使它看起来更好。

Inductive myType : Type :=
| make : forall (a:Type), a -> myType.

Lemma ex : forall (a b:Type) (x:a) (y:b) (q: a = b), (match q in _ = T return T with eq_refl => x end) = y -> make a x = make b y.
Proof.
  destruct q.
  intros q.
  congruence.
Qed.

通过使用＆＃34;异类平等＆＃34;（也称为JMeq），可以更好地隐藏大部分机器。我建议the Equality chapter of CPDT进行详细介绍。你的例子变成了

Require Import  Coq.Logic.JMeq.

Infix "==" := JMeq (at level 70, no associativity).

Inductive myType : Type :=
| make : forall (a:Type), a -> myType.

Lemma ex : forall (a b:Type) (x:a) (y:b), a = b -> x == y -> make a x = make b y.
Proof.
  intros.
  rewrite H0.
  reflexivity.
Qed.

一般来说，虽然这个特定定理可以在没有公理的情况下得到证明，但如果你以这种方式进行形式化，你很可能会遇到无法在没有关于平等的公理的情况下在Coq中证明的目标。特别是，这种依赖记录的注入性是不可证明的。 JMEq库将自动使用关于异构相等的公理JMeq_eq，这使得它非常方便。

证明依赖类型实例之间的平等

1 个答案: