Question

考虑依赖类型

Inductive dep (n: nat) :=
  mkDep : dep n.

现在，考虑一个我想证明的简单定理：

Theorem equalTypes (n n': nat): n = n' -> dep n = dep n'.
Proof.
  intros.
Abort.

如何显示两种依赖类型相同？什么是类型相等的概念？

更糟糕的是，请考虑这个“定理”（不编译）

Theorem equalInhabitants (n n' : nat): n = n' -> mkDep n = mkDep n'.
Abort.

此语句错误，因为mkDep n和mkDep n'类型不匹配。但是，从某种意义上说，这句话是 true ，因为他们在假设n = n'下是相同的值。

我希望了解如何形式化和证明关于依赖类型的陈述（特别是它们的平等和概念）

Answer 1

如何显示两种相关类型相同？

在这种情况下，您可以使用apply f_equal; assumption或subst; reflexivity（或destruct H; reflexivity或case H; reflexivity或induction H; reflexivity或exact (eq_rect n (fun n' => dep n = dep n') eq_refl n' H)来证明此问题。

什么是类型相等的概念？

与任何其他平等相同; Print eq.给出：

Inductive eq (A : Type) (x : A) : A -> Prop :=  eq_refl : x = x

这表示你必须构建一个平等证明的唯一特殊事实是任何x = x的{{1}}。使用等同证明x的方法是，如果你有eq_rect，要证明x = y的属性P，就足以证明y } P。在这种情况下，由于我们有x来证明n = n'，因此只需证明dep n = dep n'（其中dep n = dep n）。

有一个更深层次的意义，可以提出这个问题，因为事实证明，Coq中类型的相等性受到限制。给定

P := fun n' => dep n = dep n'

你无法证明Inductive unit1 := tt1. Inductive unit2 := tt2.，也无法证明unit1 = unit2。实际上，事实证明，您可以证明的唯一类型不等式unit1 <> unit2是可以证明T1 <> T2和T1不同构的情况。 Univalence公理是一种填充细节的方式。类型相等，表示任何同构类型是相等的。但是还有其他一致的解释（例如，我认为它与T2一致，尽管这与单一性相矛盾。）

更糟糕的是，请考虑这个＆＃34;定理＆＃34; （不编译）
A * B = C * D -> A = C /\ B = D

右。这是因为我们在Coq中没有相等的反射规则，而判断/定义的平等与命题相等并不相同。说明这一点的方法是＆＃34;演员＆＃34;平等证明中的Theorem equalInhabitants (n n' : nat): n = n' -> mkDep n = mkDep n'.一词。

mkDep n

请注意，Import EqNotations. Theorem equalInhabitants (n n' : nat): forall H : n = n', rew H in mkDep n = mkDep n'. intros. subst; reflexivity. Qed.的绑定比rew更紧密，并且是=的表示法。这表示，对于eq_rect H的任何证明，n = n'一词在mkDep n内传输成为H类型的术语时，等于{ {1}}。（另请注意，我们也可以使用dep n'或mkDep n'或destruct H（但不是induction H）代替case H。）

依赖类型和依赖值的相等性

1 个答案: