Question

假设我们有：

Require Import ZArith Program Omega.

Open Scope Z_scope.

Definition Z_to_nat (z : Z) (p : 0 <= z) : nat.
Proof.
  dependent destruction z.
    - exact (0%nat).
    - exact (Pos.to_nat p).
    - assert (Z.neg p < 0) by apply Zlt_neg_0.
      contradiction.
Qed.

现在我想制定这样的东西：

Lemma Z_to_nat_pred : forall x y p p', (Z_to_nat x p <= Z_to_nat y p')%nat <-> x <= y.

这对我来说似乎并不合适，因为在x <= y中，我可以有负x, y，然后我就不会有关于他们积极性的证据。总而言之，依赖Z_to_nat似乎非常难以使用。如何制定足以显示x <= y来结束(Z_to_nat x p <= Z_to_nat y p')%nat以及相反的方式？

我已经给了它一个bash来检查我可以制定证据的方式（尽管我很确定它不能用这个公式证明）。我试过了：

Lemma Z_to_nat_pred : forall x y p p',
  (Z_to_nat x p <= Z_to_nat y p')%nat <-> x <= y.
Proof.
  intros.
  split; intros.
  - dependent destruction x;
    dependent destruction y; try easy; try omega.

这引导我实现以下目标：

p : positive
p0 : 0 <= Z.pos p
p' : 0 <= 0
H : (Z_to_nat (Z.pos p) p0 <= Z_to_nat 0 p')%nat
______________________________________(1/1)
Z.pos p <= 0

我可以在这里，例如，通过从H导出矛盾来解决目标，因为Z.pos p不能是<= 0吗？对于Z_to_nat定义我无能为力。

Answer 1

以下是与您的问题相关的几条评论：

在Coq中，当使用策略定义函数时，特别是当我们想要计算时，最好使用Defined.结束相应的校对脚本，而不是Qed.（关键的概念是＆＃ 34;透明定义＆＃34; vs.＆＃34;不透明定义＆＃34;，参见Coq ref man）
因此，如果您将Qed替换为Defined，那么策略simpl in H.将适用于Z_to_nat_pred
编辑：另一种对您的目标有用的策略是exfalso.
您的函数Z_to_nat是部分函数，它将证明作为参数。但在许多实际情况中，避免依赖类型更简单，只使用默认值（因此使函数＆＃34; total＆＃34;）

后一种策略已经是标准库中可用的两个函数（您已使用Require Import ZArith导入的）。可以将这两个函数视为以非依赖类型方式定义函数Z_to_nat的两种方法：

Print Z.abs_nat.

Z.abs_nat = 
fun z : Z => match z with
             | 0 => 0%nat
             | Z.pos p => Pos.to_nat p
             | Z.neg p => Pos.to_nat p
             end
     : Z -> nat

Print Z.to_nat.

Z.to_nat = 
fun z : Z => match z with
             | 0 => 0%nat
             | Z.pos p => Pos.to_nat p
             | Z.neg _ => 0%nat
             end
     : Z -> nat

最后看来，对于这两个函数中的每个函数，ZArith都提供了类似于你的引理：

SearchAbout Z.abs_nat Z.le iff.

Zabs2Nat.inj_le: forall n m : Z, 0 <= n -> 0 <= m -> n <= m <-> (Z.abs_nat n <= Z.abs_nat m)%nat
Zabs2Nat.inj_lt: forall n m : Z, 0 <= n -> 0 <= m -> n < m <-> (Z.abs_nat n < Z.abs_nat m)%nat

SearchAbout Z.to_nat Z.le iff.

Z2Nat.inj_iff: forall n m : Z, 0 <= n -> 0 <= m -> Z.to_nat n = Z.to_nat m <-> n = m
Z2Nat.inj_le: forall n m : Z, 0 <= n -> 0 <= m -> n <= m <-> (Z.to_nat n <= Z.to_nat m)%nat
Z2Nat.inj_lt: forall n m : Z, 0 <= n -> 0 <= m -> n < m <-> (Z.to_nat n < Z.to_nat m)%nat

祝你好运

Coq中证明携带相关函数的等价性

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