Question

在软件基金会中IndProp.v要求一个人证明鸽笼原则，并且可以使用排除中间，但是提到它并不严格必要。我一直试图在没有EM的情况下证明它，但我的大脑似乎是经典的连接。

问：如果没有使用排除的中间，如何证明定理？一般来说，如果没有可判定的平等，人们通常会如何处理类型的证据？

我很高兴看到完整的证据，但请避免“明确地”发布，以免破坏软件基础课程的练习。

该定义使用两个归纳谓词In和repeats。

Require Import Lists.List. Import ListNotations. Section Pigeon. Variable (X:Type). Implicit Type (x:X). Fixpoint In x l : Prop := (*** In ***) match l with | nil => False | (x'::l') => x' = x \/ In x l' end. Hypothesis in_split : forall x l, In x l -> exists l1 l2, l = l1 ++ x :: l2. Hypothesis in_app: forall x l1 l2, In x (l1++l2) <-> In x l1 \/ In x l2. Inductive repeats : list X -> Prop := (*** repeats ***) repeats_hd l x : In x l -> repeats (x::l) | repeats_tl l x : repeats l -> repeats (x::l). Theorem pigeonhole_principle_NO_EM: (*** pigeonhole ***) forall l1 l2, length l2 < length l1 -> (* There are more pigeons than nests *) (forall x, In x l1 -> In x l2) -> (* All pigeons are in some nest *) repeats l1. (* Thus, some pigeons share nest *) Proof. (* ??? *)

Answer 1

我将描述导致我找到解决方案的思维过程，以防万一。我们可以应用归纳，并且可以简单地简化为l1 = a::l1'，l2 = a::l2'。现在l1'是a::l2'的子集。我受过EM训练的直觉是下列之一：

a位于l1'。
a不在l1'。

在后一种情况下，l1'的每个元素都在a::l2'中，但与a不同，因此必须位于l2'中。因此l1'是l2'的子集，我们可以应用归纳假设。

不幸的是，如果In不可判定，则上述内容无法直接形式化。特别是如果对于给定类型不能判定相等，则很难证明元素是不相等的，因此很难证明像~(In a l1')这样的否定语句。但是，我们想用这个否定陈述来证明一个积极的陈述，即

forall x, In x l1' -> In x l2'

通过类比，假设我们想要证明

P \/ Q
Q -> R
------
P \/ R

上述直观的论证就像从P \/ ~P开始，在第二种情况下使用~P -> Q -> R。我们可以使用直接证据来避免EM。

对列表l1'进行量化会使这更加复杂，但我们仍然可以使用以下引理构建直接证明，这可以通过归纳证明。

Lemma split_or {X} (l : list X) (P Q : X -> Prop) :
  (forall x, In x l -> (P x \/ Q x)) ->
  (exists x, In x l /\ P x) \/ (forall x, In x l -> Q x).

最后请注意，直观的归类原则也可以通过以下方式形式化，当类型具有不可判定的平等时，无法证明这一点（注意结论中有否定的陈述）：

Definition pigeon2 {X} : Prop := forall (l1 l2 : list X),
  length l2 < length l1 ->
  (exists x, In x l1 /\ ~(In x l2)) \/ repeats l1.

Answer 2

可能的建设性证据如下：

我们通过pigeonhole_principle_NO_EM上的归纳来证明l1。由于长度约束，只有非空的情况才有可能。所以，假设l1 = x :: l1'。现在，检查l1'是否有某些f : (forall x, In x l1 -> In x l2)元素被x映射到与x'相同的成员资格证明。如果存在x = x'个元素，那么l1会跟随l2'，因此会重复x。如果没有这样的元素，那么我们可以通过从l2删除l2'映射到的元素来获取f' : forall x, In x l1' -> In x l2'，并将归纳假设应用于var socket = io.connect('http://localhost:8080', { transports: [ 'websocket', 'polling' ] });和相应的public static string AdjustString(string str, List<string> userInput) { int i = 0; foreach (var input in userInput) { var searchedSubstring = $"[{i}]"; str = str.Replace(searchedSubstring, input); i++; } return str; } static void UsgeExample() { var newString = AdjustString("[0][1][2]123[3]", new List<string> {"A", "B", "C", "D"}); }功能。

这就是它，但我注意到，实际上使用给定的定义来形式化这个证明并不容易，因为我们需要证明异构或依赖的等式，因为我们必须比较可能不同元素的成员证明。

关于总体上掌握建设性证据的问题，一个重要的技能或习惯总是在研究我们拥有什么样的数据，而不仅仅是我们所知道的那种逻辑事实。在这种情况下，成员资格证明实际上是指向列表的索引，捆绑在一起，证明指向的元素等于某些值。如果会员证明没有说明确切元素的位置，那么这种证据就不可能有建设性。

没有可判定的平等或被排除在中间的

2 个答案: