Question

是否可以定义一个简单的语法概念（类似于GHC可能自动派生为Haskell 98类型的Eq实例），没有明确证明每个数据构造函数是单射的，或做类似的事情，比如定义每个构造函数的撤销并使用cong？

换句话说，是否有可能更直接地利用数据构造函数的注入性，而不是必须为每个构造函数引入一个辅助函数？

以下以自然数为例。

module Eq where

   open import Function
   open import Relation.Binary
   open import Relation.Binary.PropositionalEquality
   open import Relation.Nullary

   data ℕ : Set where
      zero : ℕ
      suc : ℕ → ℕ

   -- How to eliminate these injectivity proofs?
   suc-injective : ∀ {n m} → suc n ≡ suc m → n ≡ m
   suc-injective refl = refl

   _≟_ : Decidable {A = ℕ} _≡_
   zero ≟ suc _ = no (λ ())
   suc _ ≟ zero = no (λ ())
   zero ≟ zero = yes refl
   suc n ≟ suc m with n ≟ m
   suc n ≟ suc .n | yes refl = yes refl
   ... | no n≢m = no (n≢m ∘ suc-injective)

可以用suc-injective替换cong (λ { zero → zero ; (suc x) → x })，即通过定义一个反转suc的函数，但是每个构造函数仍然需要一个辅助函数的样板，这样的函数有点难看定义因为需要总计。

（通常需要注意的是缺少明显适用的东西。）

Answer 1

Ulf Norell的prelude for Agda包含一种自动导出给定数据类型的可判定等式的机制。该代码基于Agda的反射机制，并自动生成扩展的lambdas，用于证明构造函数的注入性。我建议看看代码，尽管它并不总是那么简单。

平等测试没有明确证明数据构造函数是单射的

1 个答案: