Question

我以这种方式有一个应用程序序列（f（f（f x））），它是f的任意函数，任何应用程序都可以编号序列。我想证明f（x y）和（x（f y）），x =（f f f ...）和y =任何值，它是相等的。我需要以下代码中的证明：

Fixpoint r_nat {A : Type} (a : nat) : A -> (A -> A) -> A :=
  match a with
    |S n => fun (x0 : A) (a0 : A -> A) => r_nat n (a0 x0) a0
    |0 => fun (x0 : A) (_ : A -> A) => x0
  end. 


Theorem homomo_nat : forall {T} (f : T -> T) (h : T) (x : nat), (r_nat x (f h) f) = f ((r_nat x) h f) .
compute.
??.
Qed.

我尝试展开和优化，但不起作用。

Answer 1

通过应用x的次数f上的归纳法可以解决。

Answer 2

我将参数(x:nat)移到了(h:T)之前。这使得归纳假设更强-它适用于 all h。那么证明就是：

Theorem homomo_nat : forall {T} (f : T -> T) (x:nat) (h : T), (r_nat x (f h) f) = f ((r_nat x) h f) .
Proof.
  induction x.
  reflexivity.
  intros. apply IHx.
Qed.

如果您愿意的话，还可以使用策略“绕开论点”以保留原始定理...从intros; generalize dependent h.

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Coq中的应用程序相等性证明

2 个答案: