Question

我试图证明在一个词上对空替换的应用等于给定的术语。这是代码：

anchorLeft

我试图证明这个功能的一些属性。

Require Import Coq.Strings.String.
Require Import Coq.Lists.List.
Require Import Coq.Arith.EqNat.
Require Import Recdef.
Require Import Omega.
Import ListNotations.
Set Implicit Arguments.



Inductive Term : Type :=
   | Var  : nat -> Term
   | Fun  : string  -> list Term -> Term.


Definition Subst : Type := list (nat*Term).



Definition maybe{X Y: Type} (x : X) (f : Y -> X) (o : option Y): X :=
   match o with
    |None   => x
    |Some a => f a
   end.

Fixpoint lookup {A B : Type} (eqA : A -> A -> bool) (kvs : list (A * B)) (k : A) : option B :=
   match kvs with
    |[]          => None
    |(x,y) :: xs => if eqA k x then Some y else lookup eqA  xs k
   end.

我反思后陷入困境。我希望在一个术语中对列表构建进行归纳，但如果我这样做，我将陷入循环中。我将不胜感激任何帮助。

Answer 1

这是初学者的典型陷阱。问题是你的Term定义在另一个归纳类型中有一个递归的出现 - 在这种情况下，list。不幸的是，Coq没有为这种类型产生有用的归纳原理;你必须自己编程。 Adam Chlipala的CDPT has a chapter on inductive types描述了这个问题。只需寻找“嵌套归纳类型”。

Answer 2

问题是Term类型的自动生成的归纳原理太弱了，因为它内部有另一个归纳类型list（具体来说，list适用于正在建造的类型）。 Adam Chlipala的CPDT很好地解释了发生了什么，以及如何在inductive types chapter中为这些类型手动建立更好的归纳原则的例子。我已使用内置nat_tree_ind'而不是自定义定义，为您的Term归纳调整了他的示例Forall原则。有了它，你的定理就很容易证明：

Section Term_ind'.
  Variable P : Term -> Prop.

  Hypothesis Var_case : forall (n:nat), P (Var n).

  Hypothesis Fun_case : forall (s : string) (ls : list Term),
      Forall P ls -> P (Fun s ls).

  Fixpoint Term_ind' (tr : Term) : P tr :=
    match tr with
    | Var n => Var_case n
    | Fun s ls =>
      Fun_case s
               ((fix list_Term_ind (ls : list Term) : Forall P ls :=
                   match ls with
                   | [] => Forall_nil _
                   | tr'::rest => Forall_cons tr' (Term_ind' tr') (list_Term_ind rest)
                   end) ls)
    end.

End Term_ind'.


Lemma empty_apply_on_term:
  forall t, apply [] t = t.
Proof.
  intros.
  induction t using Term_ind'; simpl; auto.
  f_equal.
  induction H; simpl; auto.
  congruence.
Qed.

在一个任期内适用替代证明

2 个答案: