展开方法适用于：当n = 0和2T（n-1）+1时T（n）= 1

Question

对于

当n = 0时
• T（n）= 1
• T（n）= 2T（n-1）+1否则

我知道我们应该寻找模式并深入理解问题，直到我们开始用不同的变量转换方程式为止。但是，一旦到达那里，我就不知道它是如何完成的以及为什么某些事情要完成。

我的问题特别是在2 ⁱ ·T（n-1）用 n 替换 i 的问题。但是，完整的解释也将很有用！

Answer 1

99999 ₁₀ 是100000 ₁₀ -1，11111 ₂ 是100000 ₂ - 1。

有两种方法可以解决此问题。一种是来自任意 n 的向后工作，您的描述中已经介绍过。我发现有帮助的另一种方法是从零开始一直到 n ：

• T（0）= 1
• T（1）= 1 << 1 + 1 = 3
• T（2）= 3 << 1 + 1 = 7
• ...

此处<<是二进制数的“左移”运算符，等效于乘以2。此运算符在许多编程语言中相当普遍。它有助于表明您在此过程的每个步骤中仅添加了1位。回到第一个断言， n 个连续的一位等效于2 ^{n +1} -1。

您问题中的解释仅使用 i 作为从1到 n 的计数器。除了作为步数计数器之外，它不属于方程式的一部分。在最后一步， i = n ，因此您可能会困惑于转换。

Answer 2

第一次看到公式时，我遇到了与您相同的问题。但是，让我们从头开始。
首先，您尝试逐步达到n的最终深度i。因此，对于每个数字i，您都可以解决公式i次（在图片i=1，i=2，i=3，i=4中），但是请注意，您还无法解析T(n-i)。但是您可以导出i=n的模式。这行实际上是从错误开始的：图片显示i=n-i，但实际上应该是i=n，因为您到达了底部。
其余的内容很简单：写下您看到的模式并将其放在Sum公式（Sum_{j=0}^{i-1}2^j）中。您可以将i替换为n，因为这是该行的前提。您用T(n-n)代替T(0)=1。接下来，您应用有限几何级数，因此摆脱了总和符号。其余的应该清楚。