Question

如何获取 big-O ？

T(N) = 2T(N − 1) + N, T(1) = 2

我有两种答案 O(2^N) 或 O(N^2) ，但我不确定如何正确解决它

Answer 1

将T(N)除以2^N并命名结果：

S(N) = T(N)/2^N

从T(N)的定义我们得到

S(N) = S(N-1) + N/2^N                                  (eq.1)

意味着S(N)增加，但会迅速收敛到常数（从N/2^N -> 0开始）。所以，

T(N)/2^N -> constant

或

T(N) = O(2^N)

详细证明

在下面的评论中，Paul Hankin建议如何完成证明。取eq.1并求和N=2到N=M

sum_{N=2}^M S(N) = sum_{N=2}^M S(N-1) + sum_{N=2}^M N/2^N
                 = sum_{N=1}{M-1} S(N) + sum_{N=1}^{M-1} (N-1)/2^{N-1}

因此，在用索引N = 2，3，...，M-1取消条款后，我们得到了

S(M) = S(1) + sum_{N=1}^M N/2^N - M/2^M

并且由于右边的序列收敛（因为它的术语受1/N^2约束N>>1已知收敛），S(M)收敛到有限常数。

Answer 2

这是一个数学问题而Leandro Caniglia是对的。

设b（n）= T（n）/ 2 ^ n

因此b（n）= b（n-1）+ n / 2 ^ n = b（n-2）+ n / 2 ^ n +（n-1）/ 2 ^（n-1）.. ..

i / 2 ^ i对于每个整数i

小于1

所以它们的总和有限制，必须小于某个常数。

因此b（n）＆lt;下进行。

因此T（n）＆lt; 2 ^ n * C.

显然，T（n）> = 2 ^ n。

所以T（n）是O（2 ^ n）

Answer 3

通过在等式中插入答案进行检查。

<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/immutable/4.0.0-rc.9/immutable.js"></script>

或

2^N = 2.2^(N-1) + N = 2^N + N

只保留主导词，你有

N^2 = 2 (N-1)^2 + N

或

2^N ~ 2^N

由此得出结论