如何从T（n）= 2T（n / 2）+ O（n）得到O（nlogn）

Question

您好我正在研究算法，我在不使用主定理的情况下得到关于得到O（nlogn）的问题。

我很难得到O（nlogn）..

有没有人知道从T（n）= 2T（n / 2）+ O（n）得到O（nlogn）的数学方法？

感谢

Answer 1

注意模式（简化一点，更好的是保留O(n)而不是n）：

T(n) = 2T(n/2) + n
     = 2(2T(n/4) + n/2) + n  = 4T(n/4) + n + n  = 4T(n/4) + 2n
     = 4(2T(n/8) + n/4) + 2n = 8T(n/8) + n + 2n = 8T(n/8) + 3n
     = 8(2T(n/16) + n/8)+ 3n = 8T(n/16)+ n + 3n = 16T(n/16) + 4n
     ...                                        = 32T(n/32) + 5n
     ...
                                                = n*T(1) + log2(n)*n
                                                = O(n*log2(n))

Answer 2

绘制递归树：

树的高度为log n

每个级别的成本将是恒定的时间n

因此总成本将为O（nlogn）。 http://homepages.ius.edu/rwisman/C455/html/notes/Chapter4/RecursionTree.htm

如果你愿意，你可以随时通过归纳来证明这一点。

Answer 3

对于仍然想知道如何绘制递归树的任何人：

图片：T（n）= 2T（n / 2）+ O（n）算法的递归树

按如下所示绘制一棵树，我们可以看到每次除以2直到叶子等于1

n / 2 ** k = 1 ==> 2 ** k = n             ==> k = log（n）

这意味着我们的树的深度为 log（n）。

在每个级别，我们都要进行一次操作，费用为O（n）。

即使我们每次都除以2，我们仍然在两个部分上都进行运算，因此在每个级别上都有 n 个迭代。

由于我们执行它的次数等于深度，因此产生的复杂度为 O（nlog（n））。

另外，请观看此视频教程https://youtu.be/1K9ebQJosvo