图中MST边缘所必需

Question

给定一张G（V，E）加权（在边上）图，我需要找到每个MST中属于的边数，以及至少属于一个但不是全部的边数。不属于任何人。

图形以以下形式（示例）作为输入提供：

3 3

1 2 1

1 3 1

2 3 2

前3个是节点数，后3个是边数。接下来的三行是第一个数是它们的起点，第二个是它们的终点，第三个是值的边缘。

我考虑过一次运行kruskal来找到一个MST，然后针对属于G的每个边缘检查（线性？）时间是否可以替换该MST中的一条边缘而不改变其整体重量。它不属于任何一个，如果它可以属于一个但不是全部，我还可以在第一个MST中标记边缘（可能用第二个值1或0），最后检查不能替换的边缘这些是所有可能的MST中的成员。该算法可能是O（V ^ 2），我不太确定如何用C ++编写它。我的问题是，能否以某种方式降低它的复杂性？如果我在MST上添加一条边，如何检查（并用C ++实现）形成的循环中是否包含权重较小的边？

Answer 1

您可以通过在Kruskal的算法中添加一些额外的工作来做到这一点。

在Kruskal算法中，具有相同权重的边可以按任意顺序排列，并且实际检查边缘的顺序确定了从所有可能的MST中获得哪个MST。对于每个MST，将产生该树的边都有排序一致的顺序。

无论使用哪种排序一致顺序，权重之间的联合查找结构的状态都将相同。

如果只有一个特定权重的一个边缘，那么如果Kruskal的算法选择了该边缘，则它将出现在每个MST中，因为它将以任何排序一致的边缘顺序进行选择，否则为没有MST。

如果存在多个具有相同权重的边，并且Kruskal的算法将选择其中至少一个，则可以在那一点上暂停Kruskal的边，并使用连接不同集合的那些边制作一个新的（小）图，方法是：它们作为顶点连接的集合。

所有这些边缘都在至少一个MST中，因为Kruskal可能会首先选择它们。在新图中，作为桥的那些边中的任何一条都在每个 MST中，因为无论如何，Kruskal都会选择它们。参见：https://en.wikipedia.org/wiki/Bridge_(graph_theory)

因此，如下修改Kruskal的算法：

• 当克鲁斯卡尔（Kruskal's）选择一条边时，在进行并集之前，请收集并处理所有具有相同权重的非冗余边。
• 使用将边连接为顶点的find（）集合制作带有这些边的小图
• 使用Tarjan的算法或等效算法（请参阅链接）查找图中的所有桥。这些边缘在所有MST中。
• 小图中的其余边属于某些（但不是全部）MST。
• 对小图中的边缘执行所有并集，然后移至下一个权重。

由于可以在线性时间内进行桥接查找，并且每个边缘最多在一个小图中，因此整个算法仍为O（| V | + | E | log | E |）。