找到MST的所有关键边缘

Question

我从Robert Sedgewick的算法书中得到了这个问题。

  

关键边缘。一个MST边缘，从图中删除会导致   MST重量增加被称为临界边缘。演示如何查找a中的所有关键边   与E log E成比例的时间图。注意：此问题假定边权重   不一定是不同的（否则MST中的所有边都是关键的）。

请建议一种解决此问题的算法。

我能想到的一种方法是及时完成工作E.V. 我的方法是运行kruskal的算法。

但是每当我们遇到一个边缘时，其插入MST会创建一个循环，如果是这样的话 循环已包含具有相同边缘权重的边，然后，已插入的边将不是临界边（否则所有其他MST边都是临界边）。

这个算法是否正确？如何扩展此算法以及时E log E。

Answer 1

我认为，当边缘严重时你建议的条件是正确的。但是没有必要实际找到一个循环并测试它的每个边缘。

Kruskal算法以增加的权重顺序添加边缘，因此边缘添加的顺序可以分解为等权重边缘添加的块。在每个等权重块内，如果有多个边连接相同的两个分量，则所有这些边都是非关键的，因为可以选择任何一个其他边。 （我说他们所有非关键因为我们实际上没有给出特定的MST作为输入的一部分 - 如果我们那么这将识别一个特定的边缘来调用非关键的。 Kruskal实际选择的只是初始边缘排序或如何实施排序的人工制品。）

但这还不够：可能是在将重量为4或更小的所有边缘添加到MST之后，我们发现有3个重量为5的边，连接组件对（1,2），（2， 3）和（1,3）。虽然这3个边中没有超过1个连接组件对，但我们只需要（任意）2个 - 使用全部3将创建一个循环。

对于每个等权重块，具有权重w，我们实际需要做的是（概念上）创建一个新图，其中到目前为止MST的每个分量（即使用具有权重

请注意，Kruskal的算法需要时间O（Elog E），而不是O（E），因为你似乎暗示 - 虽然像Bernard Chazelle这样的人已经接近线性时间的MST结构，但TTBOMK还没有人到达那里！ ：）

Answer 2

是的，你的算法是正确的。我们可以证明通过将Kruskal算法的执行与类似的执行进行比较，其中一些MST边e的成本变为无穷大。在第一次执行考虑e之前，两个执行都是相同的。在e之后，第一次执行的连接组件少于第二次。这种情况持续存在，直到边缘e'被认为在第二次执行中加入e将具有的组件。由于边e是目前构建的森林之间的唯一差异，它必须属于e'创建的循环。在e'之后，执行做出相同的决定，而森林的差异在于第一次执行e，第二次执行e'。

实现此算法的一种方法是使用动态树，即表示标记林的数据结构。此ADT的一种配置支持对数时间中的以下方法。

• MakeVertex（） - 构造并返回一个新的顶点。
• 链接（u，c，v） - 顶点u和v不得连接。使用cost c。从顶点u到顶点v创建一个未标记的边。
• Mark（u，v） - 顶点u和v必须是边e的端点。标记e。
• 已连接（u，v） - 表示顶点u和v是否已连接。
• FindMax（u，v） - 必须连接顶点u和v。以最大成本和该成本返回从u到v的唯一路径上未标记边的端点。此边缘的端点按它们出现在路径上的顺序给出。

我没有声称这在实践中是一个很好的算法。动态树木，如瑞士军刀，功能多样但复杂，往往不是最好的工具。我鼓励你思考如何利用这样一个事实，即我们可以等到处理完所有边缘以找出关键边缘是什么。