找到MST的关键边缘：可能使用修改的Prim算法？

Question

我在找到“关键边缘”问题的解决方案时遇到了这个问题。我已经解决的原始（C ++）问题是：

  

考虑图G =（V，E）。查找有多少边缘属于所有 MST，不属于任何 MST的边数以及有多少边属于某些MST，但不属于所有

让我们分别称为“绿色”，“红色”和“黄色”，以上3个案例中的边缘。

在进行我的研究之后，我遇到了Find all critical edges of an MST，它解决了这个问题。一个人会运行Kruskal算法的修改版本：如果相同权重的两个或多个边连接相同的组件，从而形成一个循环，那么所有这些都是黄色边缘，即可以包含在MST中的边缘（或不包括） 。无可争议地选择的边缘是“绿色”，在同一组件中创建循环的边缘是“红色”。所以，原来的问题已经解决了。

上述算法的问题是它运行在 O（| E | * log | V |），这是Kruskal算法的运行时间（如果我错了请纠正我） ）。我正在考虑是否也可以使用Prim的algortihm的修改版本，因为它具有更好的摊销复杂度 O（| E | + | V | log | V |），如果Fibonacci堆是使用

我的感觉是这里不能使用Prim算法的修改版本，因为我们不得不根据递增的权重迭代所有边缘;但是，我无法证明这一点。那么，有可能进一步降低这个问题的复杂性吗？

Answer 1

这个问题比最小生成树的灵敏度分析问题容易，这是为了确定在最小生成树变化之前每个树/非树边缘可以增加/减少多少重量。用于MST灵敏度分析的最着名的算法似乎是由于Seth Pettie (2005, arXived 2014)，其运行时间为O（| E | log alpha（| E |，| V |））。这非常接近最优（α是反Ackermann）但仍然是超线性的。已知几种具有线性预期运行时间的随机算法。