在给定旧MST和新顶点+边缘的情况下查找最小生成树

Question

在样本问题中，我给出了加权图G =（V，E）的MST T.问题是，如果要将新的顶点v及其所有边添加到图中，那么用什么o（| V | log | V |）算法来计算这个新G *的新MST =（VU v， E *）。

到目前为止我唯一的想法是：

add min( out(v) ) to T
for each edge e in out(v) do
  let u be the other vertex of e
  if there exists a lower weight path from v to u then
    remove all edges in that path from T
    add e to T

两个问题：

1. 如何处理可能已断开连接的顶点
2. 这绝对不是O（| V | log | V |）

我该怎么做？

Answer 1

您也可以在线性时间内完成（如果新边数（比如k）与n相比要少得多）。我们知道新的MST应该覆盖新的顶点。因此必须添加至少一个新边。因此必须将具有最小值的边添加到MST（您可以证明这一点）;可能会发生多个新边缘的变化。 因此，按升序排序新边 将第一个添加到图表中;现在我们有了一个新的周期。执行图遍历查找循环并删除此循环中具有最大值的边。 现在添加其他新边缘并重复该过程。

复杂度是新添加边数（大致线性）的（n + m）倍。

Answer 2

最后看到你知道你的MST将在MST的边缘之中并添加了新边

因此，添加所有新边将得到图形。做任何正常的MST算法（Boruvka，Kruskal，Prims）就可以得到你的解决方案。

由于这里的边是=（V-2）最初（V-1）加上= 2V-1，算法将达到你需要的时间限制。