我在互联网上看到找到最长路径的问题是NP-完全问题。
由于某种原因，我的老师告诉我这不是NP完全问题。 因此，现在我正在寻找一个示例，该示例显示获取最长路径所需的计算量大于多项式时间。
目前，我仅看到具有多项式复杂度时间的示例。
有人可以带我证明这个问题是NP完全的吗？
答案 0 :(得分：2)
对于初学者而言，取决于您对最长路径问题的说法，实际上问题可能是 NP -难而不是 NP -完全。此问题的 NP 完整版本如下：
给定一个图G和一个长度为k的图形，G是否具有一个长度为k或更大的简单路径？
众所周知，此问题是 NP 的原因，我稍后会详细说明。但是，与这个紧密相关的问题实际上不是 完整的 NP ：
给定一个图G，G中最长的简单路径是什么？
第二个问题是 NP -困难，但不是 NP -完整。要使问题 NP 完全，该问题必须是决策问题，该问题的答案为布尔值“是”或“否”。但是，此问题的第二个版本不是决策问题，因此不能出现在 NP 中，因此也不能是 NP 完整。
尽管我不能肯定地说，最长的路径问题不是 NP -完全的，但是您的老师很可能在考虑这个问题。关于为什么最长路径问题是 NP -完全的原因，我们需要争论两点：
此问题在 NP 中。直观地，有一种有效的方法可以检查问题的肯定答案。
此问题 NP 很难。也就是说，存在一个 NP 难题，可以解决。
对于点（1），直觉是如果问题的答案“此图是否具有长度为137或更大的简单路径？”是“是”，有一些简单的方法可以向某人演示。只要给他们那条简单的道路。一旦有了路径，他们就很容易检查它是否确实符合要求。 （现在，找到这条路可能真的很困难。但是，一旦我们以某种方式隔离了它，就不难让人信服它了。）
对于第（2）点，一般的解决方法是从现有的 NP 难题开始，并将其简化为我们的问题。在这里，我们从哈密顿路径问题开始，如下：
给定一个图G，是否有一条简单的路径通过G中的每个节点一次并且恰好一次通过？
这是我们将问题简化为最长路径问题的方法。从图G开始。现在，问一个问题：G是否具有长度至少为n-1的简单路径，其中n是G中的节点数？如果是这样，则该简单路径必须访问一次并且恰好一次访问每个节点，因为否则路径中的节点长度不足以使n至少为n-1。反之，如果没有，则没有哈密顿路径，因为任何哈密尔顿式的道路都符合要求。因此，如果我们可以有效地解决最长路径问题，就可以有效地解决哈密顿路径问题。由于汉密尔顿路径问题是 NP -困难的，因此最长路径问题也是如此。
现在，这个问题是 NP -完全的事实并不意味着没有多项式时间解。 P 与 NP 问题仍然没有解决，并且不知道 P = NP 还是 P ≠ NP ，我们不能说是否存在最长路径问题的多项式时间算法。我们可以说的是，没有 known 算法可以在多项式时间内运行（您提到了一些站点声称他们有针对该问题的多项式时间算法，但这听起来不对；如果是这样，无论谁发现该算法将成为百万富翁。
现在，您可以问一个后续问题：为什么哈密顿路径问题 NP -很难？证明这一点的通常方法是从3SAT开始，并进行基于小工具的巧妙还原。在这里要探索的时间太长了，但是大多数介绍性理论教科书（包括Sipser着名的教科书）在解释这一方面都做得很好。