这个for循环的时间复杂度是多少（与`n`有关）？

Question

此for循环的时间复杂度是多少（与n相关）？

for(int i = 1, j; i <= n; i = j + 1)
{
        j = n / (n / i);
}

请注意，i，j和n是整数变量，它们遵循整数算术运算。特别是，循环内的表达式n/(n/i)应该解释如下：

Answer 1

如果我们使用j = i;而不是j = n / (n / i);，则时间复杂度为O（n）。 现在是j = n / (n / i);，假设 n = i * k + r ，其中k和r都是整数，而 r = n％i 。因此j =（i * k + r）/（（i * k + r）/ i）=（i * k + r）/ k = i + r / k> = i，这意味着i的增长速度将大于如果您使用j = i;。因此，至少时间复杂度小于O（n），我想这会给您另一个O（n）。

除了大的O符号外，还有另外两个符号（Θ和Ω），表示O（n）的下限和上限。通过找到这两个界限，可以获得时间复杂度。如果我没有记错的话，还有另外一条规则，即O（k * n）= O（n），系数k不管大小都无关紧要。

Answer 2

与elaborated by taotsi一样，每次迭代中i的增量为

inc = 1 + r/k

其中r=n%i和k=n/i。自r<i起，增量为1，与i<sqrt(n)一样长（因为i*i/n<1在整数除法中变为0）。此后，增量通常为2，与i<2*sqrt(n)一样长。这继续类似于几何级数，在sqrt(n)上给出了因子2，即2 sqrt(n)迭代。

如果我们用整数n = a*a+b（即0 <= b <= 2*a和a=int(sqrt(n))）写b=n-a*a，那么简单实验中的迭代总数始终是

b < a?  2*a-1 : 2*a

因此，复杂度为O（√n）（前提是在循环内完成了一些有用的工作，例如计算总迭代次数，从而不允许编译器忽略整个循环）。

Answer 3

@Walter已经提供了证明，对于这一部分，我为时已晚，但这是您的代码的Python3版本，以及根据n与{{ 1}}函数。它们看起来大致相同（最多2*sqrt(n)）。

n = 1e9

这是情节：

如果看不到差异，那是因为几乎没有：D当然，人们应该始终相信数学;）

Answer 4

严格按照C ++的规则，它是O(1)。循环在执行了一定数量的不执行任何可观察的工作后终止，或者永远循环（这是未定义的行为）。符合条件的实现可能会假定未遇到未定义的行为，因此我们可能会认为它终止了。

由于程序的可观察效果不依赖于循环内发生的事情，因此允许将实现“按原样”执行为空。