Question

我很难使用O（n）原理来推广算法的时间复杂度，该算法的具体时间复杂度为O（sum（a）），其中a是整数数组。

我的直觉是，这个时间复杂度应该推广到O（n），因为你可以把它想象为ki值的“线性”方程出现n次，其中k是数组中的整数值，使其成为O（ n）（对于直线上升的O（n）情况，k = 1）。

但它似乎与O（n）不完全相同 - k的值可能远大于n，如果所有这些k值都大，那么你可以得到O（n ^ 2））或O（n ^ 3）取决于该值的大小。

O（n）复杂度是否需要考虑这一点，其中n是数组的长度？我真的应该将n定义为数组中所有元素的总和而不是数组的长度吗？

一般来说，考虑这个问题的最佳方法是什么？

Answer 1

从根本上说，我们希望根据输入描述算法的运行时间。 “运行时”是一个模糊的术语，通常在地毯下扫过。例如，排序算法或散列表操作的“运行时”是在比较次数中测量的，但使用“运行时”来表示基本操作的数量（通常也只是模糊地定义）也是可能的。

计算运行时经常会有两种选择（或简化）。第一种，是忽略实际输入，并使用输入的大小（以某种方式测量）代替。此大小通常表示为n。第二种方法是使用big-O表示法来描述最坏情况（或最佳情况，或平均值，或摊销......）。

这些选择都不一定是必要的，有时它们没有意义。重复一遍，因为这是答案的关键：描述n的big-O中的运行时不是描述运行时的唯一方法，有时这样做是没有意义的。

例如，对于在O(sum(a))时间内运行的算法：

func f(a) {
   t = 0
   for x in a {
      for i = 1..x {
         t += 1
      }
   }
}

使用输入数组a的长度来描述此运行时没有用。它没用，因为a的长度没有说明最坏情况的运行时。

说t递增sum(a)次是关于程序运行时的有用声明。它不使用大O复杂符号。

如果你做想用big-O表示法来表达，你可以说这段代码的运行时是O(sum(a))。这完全模糊了您在运行时测量的内容，因为除了递增t之外，您可以包括执行语句的成本。

回到示例，你可以（如果你正在研究复杂性类，你可能会）说n是大小（在比特）输入数组。然后你可以说一下运行时（在基本操作中测量）：它是O（2 ^ n），因为最坏情况输入是一个数组，其中一个元素取值为2 ^ n-1（* note）。

*注意：这忽略了有关如何使用位编码数组的一些技术细节。