O（nⁿ）和O（n！）的时间复杂度

Question

获取下面的复杂性顺序

O(1), O(log(n)), O(n⋅log(n)),O(n), O(n²), O(2ⁿ), O(n!), O(nⁿ), O(n³).

订单应如下：

O(1) < O(log(n)) < O(n) < O(n log n) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(nⁿ) < O(n!)

在我看来，nⁿ=n⋅n⋅n⋅...
       但是，n! = n(n-1)(n-2).....所以O(n!) < O(nⁿ)

然而，另一位朋友说O(nⁿ) < O(n!)，

因为n! = sqrt( 2πn ) ⋅ (n/e)ⁿ

我不知道怎么弄这个，请详细解释一下。

Answer 1

公式n! ≈ sqrt( 2πn ) ⋅ (n/e)ⁿ称为Stirlings approximation 但是，如果你知道O(n!) < O(nⁿ)比sqrt(n)下降慢得多（(1/e)ⁿ增长），这也会显示n。 （limn → ∞ sqrt(n) / eⁿ = 0）。所以

O(n!) = O(sqrt(n) ⋅ (1/e)ⁿ ⋅ nⁿ) < O(nⁿ)

holdes，因为sqrt(n) ⋅ (1/e)ⁿ远小于1，大约为O((1/e)ⁿ)。

但这个公式只是一个近似值。如你所说：

nⁿ = n ⋅ n ⋅ ... ⋅ n   (n times)  
n! = n ⋅ (n-1) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1 
   < n ⋅ n ⋅ ... ⋅ n = nⁿ

这应该表明O(n!) < O(nⁿ)。

Answer 2

假设N = 4。

• 如果你调用O（N！），循环将迭代N！每个循环的时间。第一个循环为1，第二个循环为1,2，第三个循环为1,2,3，第四个循环为1,2,3,4。
• 所以你有：
• 1
• 1,2
• 1,2,3
• 1,2,3,4
• 如果你调用O（N ^ N），循环将为每个循环迭代N次。第一个循环将是1,2,3,4，第二个循环将是1,2,3,4，第三个循环将是1,2,3,4，第四个循环将是1,2,3,4
• 所以你有：
• 1,2,3,4
• 1,2,3,4
• 1,2,3,4
• 1,2,3,4
• 因此，您可以看到O（N！）将比O（N ^ N）更早终止，因为它不必循环到每次迭代的列表末尾。因此，时间复杂度O（N！）＆lt; O（N ^ N）或更确切地说O（N！）优于O（N ^ N）。