Question

我明天有一个计算机科学中期，我需要帮助确定特定递归函数的复杂性，如下所示，这比我已经处理过的东西要复杂得多：它有两个变量

T（n）= 3 + mT（n-m）

在m是常数的简单情况下，通过编写解包关系可以很容易地获得公式;但是，在这种情况下，解包不会使生活更容易，如下所示（假设T（0）= c）：

T（n）= 3 + mT（n-m）

T（n-1）= 3 + mT（n-m-1）

T（n-2）= 3 + mT（n-m-2）

...

显然，根据这些不平等，没有直接的消除。所以，我想知道我是否应该使用另一种技术来处理这种情况。

Answer 1

不要担心m - 这只是一个常量参数。但是，您错误地展开了递归。展开的每个步骤都涉及三个操作：

使用参数值取值T，即m更少
乘以m
添加常量3

所以，它看起来像这样：

T(n) = m * T(n - m) + 3 =                                        (Step 1)
     = m * (m * T(n - 2*m) + 3) + 3 =                            (Step 2)
     = m * (m * (m * T(n - 3*m) + 3) + 3) + 3 = ...              (Step 3)

等等。将T(n)展开至步骤k，将通过以下公式进行展示：

T(n) = m^k * T(n - k*m) + 3 * (1 + m + m^2 + m^3 + ... + m^(k-1))

现在您将n - k*m = 0设置为使用初始条件T(0)并获取：

k = n / m

现在你需要使用一个公式来计算几何级数的总和 - 最后你会得到T(n)的封闭公式（我将离开最后一步）。

求解递推方程T（n）= 3 + m * T（n - m）

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