证明大欧米茄功能

Question

我试图证明函数是Ω（^ 3），但常数 C 固定为3 。< / p>

功能是：

() = 3^3 − 39^2 + 360 + 20

为了证明是Ω（^ 3），我们需要常数，_0＆gt; 0这样

|()| ≥ C|^3|

每个≥_0。

当插入C = 3时，你会得到不等式

3^3 − 39^2 + 360 + 20 ≥ 3^3

等于

−39^2 + 360 + 20 ≥ 0

我被困在这里，因为我找不到满足每个≥0的等式的 n_0 。

另外，如果c = 2.25已修复，我如何找到满足n_0的最小整数？

Answer 1

如何一般地证明

使用（）= 3 ^ 3 - 39 ^ 2 + 360 + 20证明Ω（^ 3）非常简单。

确切的定义（来自维基百科）是：

在单词中你需要找到一个常量 c ，这样 c * g 总是小于 f （来自给定的 > N_0 ）。您当然可以选择 c 小和 n_0 大。<​​/ p>

我们首先删除了一些不必要的东西，以便估算 f ：

对于所有 n＆gt; = 39 ，
• -39 ^ 2大于 -n ^ 3
• 360显然大于 0
• 20 也大于 0

好的，我们收到的是：

f(n) >= 3n^3 - n^3 + 0 + 0
      = 2n^3

表示 n＆gt; = 39 。

我们选择 C = 2 （或更小的东西）， n_0 = 39 （或更大的东西）并按照

     C * |g(n)| = 2 * |n^3| <= |2 * n^3| <= |f(n)|
<=>  C * |g(n)| <= |f(n)|

所有 n＆gt; N_0 。根据定义，这意味着Ω（^ 3）。

您的具体情况

对于 C = 3 固定，这显然是不可能的，因为 3 * n ^ 3 总是大于3 ^ 3 - 39 ^ 2 + 360 + 20（对于一些 n_0 ）。这是由于第二个加数-39 ^ 2。

看一下情节：

你知道 3n ^ 3 超出 f ，所有 n＆gt; = n_0 n_0 在 9.286 。确切的值是：

n >= (2 / 39) * (90 + 8295^(0.5))

以下是Wolfram Alpha的查询。

但对于固定的 C = 2.25 ，可能，如this query所示。对于所有 n＆gt; = 40 都是如此。