证明Big-Theta和其他渐近定义​​（Big-Theta，Big-Omega，Big-O，little-theta，little-omega）

Question

因此，在未来的任务中，我注意到一些问题要求我们只使用＆＃34;这些规则。我想知道是否存在小-theta和小omega的任何规则（使用极限x接近f（x）/ g（x）的无穷大）。

此外，是否有这些规则的正式证明？我设法为其中几个人写了证据（Big-O，little-theta，little-omega）。但我和其他人有困难 - 就是目前，Big-Omega。我使用限制比率，然后使用正式限制的定义进行翻译，然后应用所讨论的渐近符号的定义。

所以我看到了这篇文章：https://math.stackexchange.com/questions/925053/using-limits-to-determine-big-o-big-omega-and-big-theta

http://aofa.cs.princeton.edu/lectures/lectures13/AA01-AofA.pdf

Answer 1

此处提供了不涉及限制的定义：

Big O

  

f = O（g）如果存在n0，则c> 0。这样，对于所有n> = n0，f（n）<0。 C * G（n）的

Big Omega

  

f = Omega（g）iff g = O（f）。

Big Theta

  

f = Theta（g）iff f = O（g）且f = Omega（g）。

小o

  

f = o（g）iff对于所有c>在0中存在n0，使得对于n> = n0，f（n）<0。 C * G（n）的

小欧米茄

  

f = omega（g）iff g = o（f）

没有“小theta”。您可能还会发现“Little o”和“Little omega”定义为“O \ Theta”和“Omega \ Theta”;这些定义可以通过显示它们描述的集合相等来证明是等价的（即，o是O \ Theta的子集，而O \ Theta是o的子集）。

Answer 2

您可以使用极限来解决小Omega和小O的问题。 这是一段视频，展示了如何解决Big-O，Big Theta，Big Omega，Little O和Little Omega https://www.youtube.com/watch?v=QhpfLwe-ERM