未定义的大欧米茄

Question

我有

  

n ^ 3/100 -100n ^ 2 -100n +3

，我需要找到大theta。可能有未定义的下限吗？对于下限，无论我使用什么n值，我都不会得到c的正值。

Answer 1

如果我们尝试找到一个正常数c

(1/100)n^3 - 100n^2 - 100n + 3 >= cn^3

我们将失败，因为如果n的值较小，则左侧为负（例如n=1）。

但是我们不需要！我们需要在n超过某个阈值n0时保持不等式。因此，在简化表达式时，请记住这一点。

(1/100 - c)n^3 - 100n^2 - 100n + 3 >= 0     ; group by degree!

iff

(1/100 - c)n^3 >= 100n^2 + 100n - 3

如果

(1/100 - c)n^3 >= 100n^2 + 100n             ; easy but effective

如果

(1/100 - c)n^3 >= 100n^2 + 100n^2           ; key simplification!
                = 200n^2

iff

(1/100 - c)n >= 200

iff

((1 - c)/100)n >= 200

iff

n >= 20000/(1 - c)

我们可以选择c = 1/2和n0 = 40000。