证明大欧米茄功能

Question

我试图找到一个大的欧米茄大小为n ^ 3的函数的n0（n not），其中c = 2.25

（）= 3 ^ 3 - 39 ^ 2 + 360 + 20.为了证明（）是Ω（^ 3），我们需要常数，0＆gt; 0使得（≥≥3）每≥0

如果c = 2.25，我如何找到满足n0的最小整数？

我的第一个想法是插入n = 1，因为n> 0，并且如果不等式工作n = 1将是最小的n（因此n0）。但是，每个n> = n0必须满足不等式，如果我插入，例如，n = 15，则不等式不起作用。

Answer 1

你可以用数学方法解决这个问题。

为了确保我理解你想要的东西，我会总结你的要求。您希望找到最小的整数n，以便：

3 ^ 3 - 39 ^ 2 + 360 +20≥2.25^ 3（1）

任何大于n的整数也必须满足等式（1）。

所以这是我的解决方案：

（1）＆lt; =＆gt; 0.75 ^ 3 - 39 ^ 2 + 360 +20≥0

设f（n）= 0.75 ^ 3 - 39 ^ 2 + 360 + 20

f（n）= 0＆lt; =＆gt; n1 = -0.05522或n2 = 12.079或n3 = 39.976

• 如果n < n1，f（n）＆lt; 0（自己试试）
• 如果n1＆lt; n＆lt; n2，f（n）> 0（符号将交替显示）
• 如果n2＆lt; n＆lt; n3，f（n）＆lt; 0（符号将再次交替）
• 如果n> n3，f（n）＆gt; 0

因此，为了满足您的要求，n的最小值必须为40

Answer 2

这样想。在某一点之后，3 ^ 3 - 39 ^ 2 + 360 + 20总是大于或等于n ^ 3，这是因为最终3n ^ 3将击败-39n ^ 2。所以F（n）永远不会低于n ^ 3而非常大。你不需要设置最小的nO，只需为nO选择一个非常大的数字，因为问题是在n的某个值之后询问，该语句将永远保持为真。例如，选择nO为极大数X，然后使用感应证明，其中X是基本情况。