来自合并排序的修改案例的递归big-o（T（n / 2）+ cn）

Question

什么是大的o    T（n）= T（n / 2）+ cn

我知道mergesort情况T（n）= 2T（n / 2）+ cn即线性

并且我能够解决T（n）= 2T（n / 2）+ c以获得线性但在第一个中感到困惑...

Answer 1

第一个应该很简单：

T(n) = T(n/2) + cn = T(n/4) + cn/2 + cn = T(n/8) + cn/4 + cn/2 + cn
     = T(1) + c(n/2^m + ... + n/4 + n/2 + n)
     <= T(1) + c(n + n/2 + n/4 + n/8 + ...) = 2cn + T(1)

m = log(n)。

因此就大写符号而言T(n) ~ O(n)。

顺便说一下，不难证明这实际上是n的那个，

T(n) = T(n/2) + cn = T(n/4) + cn/2 + cn = T(n/8) + cn/4 + cn/2 + cn
     = T(1) + c(n/2^m + ... + n/4 + n/2 + n)
     >= T(1) + c(n/2 + n/4 + n/8 + ...) = cn + T(1)

因此T(n)实际上是n的theta，因为n的大o和大ome。