Question

我试图在lambda演算中计算列表元素和列表长度的函数列表示例：a := [1, 2, 3] = λcn.c 1 (c 2 (c 3 n))
sum a应返回6，len a应返回3.

我写了递归版本：

len = λl.if (empty l) 0 (plus 1 (len (tail l)))
sum = λl.if (empty l) 0 (plus (head l) (sum (tail l)))

其中if，empty，plus，tail是其他lamda函数。

然后我用定点组合器做了一些技巧：

len = λl.if (empty l) 0 (plus 1 (len (tail l))) 
len = λfl.if (empty l) 0 (plus 1 (f (tail l))) len
len = Y λfl.if (empty l) 0 (plus 1 (f (tail l)))

其中Y = λf.(λx.f(x x))(λx.f(x x))
总和也差不多。所以现在我有非递归版本。但是我不能在这里使用beta减少来获得beta正常形式 我想知道这些功能是否存在β正常形式以及它们的外观。

Answer 1

这些可以更容易实现，因为列表由其自己的迭代器编码：

a := [1, 2, 3] = λcn.c 1 (c 2 (c 3 n))

表示列表是两个参数的函数：一个用于cons个节点，另一个用于nil构造函数的末尾。

因此，您可以通过以下方式实施length：

忽略存储在cons节点中的值并返回+1
将nil替换为0

转换为：

length := λl. l (λ_. plus 1) 0

将扩展为（在每一行，粗体表达式展开或缩小）：

length a
(λl. l (λ_. plus 1) 0) a
(λl. l (λ_. plus 1) 0) (λcn.c 1 (c 2 (c 3 n)))
(λcn. c 1 (c 2 (c 3 n))) (λ_. plus 1) 0
(λn. (λ_. plus 1) 1 ((λ_. plus 1) 2 ((λ_. plus 1) 3 0))) 0
(λ_. plus 1) 1 ((λ_. plus 1) 2 ((λ_. plus 1) 3 0))
(plus 1) ((λ_. plus 1) 2 ((λ_. plus 1) 3 0))
(plus 1) ((plus 1) ((λ_. plus 1) 3 0))
(plus 1) ((plus 1) ((plus 1) 0))
(plus 1) ((plus 1) 1)
(plus 1) 2
= 3

同样，您可以通过说：

来实施sum

使用+合并cons中存储的值和评估尾部的结果
将nil替换为0

转换为：

sum := λl. l plus 0

将扩展为

sum a
(λl. l plus 0) a
(λl. l plus 0) (λcn.c 1 (c 2 (c 3 n)))
(λcn. c 1 (c 2 (c 3 n))) plus 0
(λn. plus 1 (plus 2 (plus 3 n))) 0
plus 1 (plus 2 (plus 3 0))
plus 1 (plus 2 3)
plus 1 5
= 6

lambda演算中列表元素的总和和列表的长度

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