Question

我正在尝试计算泡泡排序的θ符号，但我卡住了。给定此过程（伪代码）：

procedure BUBBLE_SORT(A,n) {
    array A(1 to n)
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= n-1; j++) {
            if(A[j] > A[j+1] {
                //swap(A(j), A(j+1))
            }
        }
    }
}

我能够通过sigma表示法得到最坏的情况：

（n ^ 2 - n）/ 2

为了获得最佳的运行时间，我按照了我的书并做了这个：

给定p（n）=（n ^ 2 - n）/ 2，我们声称p（n）=Θ（n ^ 2）。为了证明这一点，我们展示了一些常数c1，c2和n0：

C1n ^ 2＆lt; =（n ^ 2/2）+（n / 2）＆lt; = C2n ^ 2

将双方除以n ^ 2，我们得到：

C1 <=（1/2）+（1 / 2n）＆lt; = C2

这是我迷路的地方。在书中，作者挑选了一些数字，将它们插入并说“因此它遵循p（n）=Θ（n ^ 2）”

我如何知道要插入的号码？我可以插入任何数字吗？如果这些数字确实符合不等式，那是否意味着我可以立即说算法是Θ（n ^ 2）？

谢谢！

Answer 1

请记住，这是关于渐近行为。

我们可以将其视为玩游戏：你的目标是证明一定的约束力。游戏是这样的：首先，你可以选择常量C1和C2。然后我选择了一个任意的n。如果我能以违反不平等的方式做到这一点，你就会失败（界限不成立）。如果我无法做到这一点，即使您不再允许更改您选择的C1和C2，您也会获胜（绑定是正确的）。

现在让我们看看有问题的等式：

C1 <=（1/2）+（1 / 2n）＆lt; = C2

由于n是一个整数（最后，它表示数组中元素的数量），因此有一个确定的最小值：n = 1。我们将其替换为：

（1/2）+（1/2）= 1

好的，现在这是一个开始。让我们看看当n更大时会发生什么...请注意，n仅出现在分母中。因此，我不能通过使它任意大而陷入困境。最糟糕的情况实际上是小值n。随着n更大的值，产品的第二部分变小并最终消失。对于限制n->inf，我们得到：

lim n-> inf（1/2）+（1 / 2n）

（1/2）+ lim n-> inf（1 / 2n）=（1/2）+ 0 = 1/2

那么告诉我们的是，无论我选择n的哪个值，结果值总是在1/2到1的范围内（因为等式在{ {1}}这两个样本足以证明这一点;对于更复杂的方程式，建立边界通常需要更多的工作）。

有了这些知识，你能以一种我永远无法赢得比赛的方式选择n和C1吗？

Answer 2

我们有兴趣找到C1和C2，以便每个n >= 1都符合以下条件：

C1 <= (1 / 2) + (1 / 2n) <= C2

C1 = 1/2的不错选择（但任何小于此的严格正值也有效，例如C1 = 0.1）。

C2 = 1的不错选择（但任何大于此值的值也有效）。值C2 = 1很好，因为1 / 2 + 1 / 2n表达式随n变大而减小，因此其最大值为n = 1。

最后一点说明：上面显示了一些常量C1和C2，n >= 1时不等式总是保持不变。如果它更方便，我们可以专注于n的值，从另一个常量值（而不是1开始，例如n >= 10000）。重要的是有一些常量C1和C2，这样当n足够大时，两个不等式都会成立。

Answer 3

我遵循的一般方法是首先检查标准复杂度值。喜欢 2^(2^n) > n! > 4^n > 2^n > n^2 > nlogn > log(n!) > n > sqrt(n) > (logn)^2 > logn > loglogn > 1

这种方式只是插件n^2现在如果它满足，那么考虑小于该值的值。这样你就可以获得紧张的约束。如果它不满足更高的价值。这有助于许多情况。

计算大Theta表示法冒泡排序

3 个答案: