Big Theta表示法 - 简化

Question

我使用了主定理来解决递归关系。我把它归结为Θ（3n ² -9n）。这是否等于Θ（n ² ）？我有另一个复发，其解是Θ（2n ³ - 100 ² ）。在BigTheta表示法中，你总是只使用最大的术语吗？所以我的第二个是Θ（n ³ ）？在第二种情况下，似乎 100n ² 会更重要。如果我放弃它会有关系吗？

有什么建议吗？

Answer 1

是。你的假设是正确的。第一个是Θ（n ² ），第二个是Θ（n ³ ）。当您使用Θ表示法时，您只需要最大的术语。

如果您的第二次复发，请考虑n = 1000，然后 n ³ = 1000000000 。其中 100n ² 只是 100000000 。随着n值的增加，n ³ 变得越来越多于100n ² 。

出于理论目的，你不需要考虑常数，它可能有多大。但实际应用可能更喜欢具有小常数的算法，即使复杂性很高。例如，使用复杂度 0.01n ³ 的算法比使用 10000n ² 复杂度的算法更好如果 n 的值不是很大。

Answer 2

如果我们有函数f（n）= 3n ^ 2-9n，可以忽略低阶项和costants，我们考虑更高阶项，因为它们在函数增长中起主要作用。 通过仅考虑更高阶项，我们可以很容易地找到上限，这是一个例子。

                  f(n)= 3n^2-9n
  For all sufficient large value of n>=1,
                                      3n^2<=3n^2 
                           and       -9n  <= n^2

                     thus, f(n)=3n^2 -9n <= 3n^2 + n^2
                                         <= 4n^2

  *The upper bound of f(n) is 4n^2 , that means for all sufficient large 
  value of n>=1, the value of f(n) wouldn't be greater than 4n^2.* 

                  therefore,           f(n)= Θ(n^2)  where c=4 and n0=1

我们可以直接找到上限，通过说忽略方程f（n）= 3n ^ 2-9n中的低阶项和常数，结果将是相同的Θ（n ^ 2）