确定复杂性

Question

假设我已经给出了一个算法X，它将整数n作为输入。

现在考虑所有输入n的X需求小于x（x是固定的任意自然数）  O（n ² ）步骤。但是对于每个输入n > x，它需要n步。

问题： X的（最坏情况）运行时复杂性是什么？

答案： X的（最坏情况）运行时复杂度为O（n）。对于每个固定的x，我们可以找到数n，使得n>（x ² ）和所有n的（最坏情况）运行时n>（x ² ）是上）。我不确定我的答案是否正确。

修改：为了更好地理解 T(n, x) \in if n <= x then O(n^2)其他O(n)。什么是最坏的运行时复杂性？

Answer 1

根据定义，对于Big-Oh（或任何复杂性约束）而言重要的是所有n值超过某个固定边界的行为。您的算法最终在n中是线性的，因此运行时由O(n)绑定。

请注意，如果您的算法接受n的输入，那实际上意味着在某个数字系统中接受n的表示。在典型的计算机上，这将是2位（二进制）表示。 base-k（k-ary）表示将采用log_k（n）数字，向上舍入。因此，如果您在二进制系统中并且数字为9，则表示为1001且需要4位（9的基数2大于3但小于2，因此为4位）。

鉴于此，您的输入大小实际上不是n而是log_2(n)（假设为二进制），如果您的算法需要时间n，则运行时w.r.t.输入大小实际上是指数的（因为n = 2 ^（log_2 n））。

这是一个小小的挑剔，但可能会让你以不同的方式思考算法。如果不是取一个数字而是取一个包含n元素的列表，这种区别就会消失。

Answer 2

算法X的运行时复杂性与成本函数（统一成本标准）T(n, x)在O(n^2)时是n <= x的成员，否则是O(n)的成员，即：T(n, x) \in if n <= x then O(n^2) else O(n)，如果我们将x \in Nat修改为您所说的任意数字，O(n)。

这种情况是因为一旦x被修复，并且假设自然数没有约束，那么总会有n >= x^2，因此在处理渐近性时我们可以忽略O(n^2)算法。

因此，R(n) = T(n, x) \in O(n)。

我发现你的理由是合理的。