如何在O（n）时间内计算按x坐标排序的一组点的凸包？

Question

我读到了计算凸包的算法。其中大部分都需要O(n*log(n))次，其中n是输入点的数量。

让S = {p_1, p_2, ..., p_n}成为一组按x坐标排序的点，即p_1.x <= p_2.x <= ... <= p_n.x。

我必须描述一种算法，该算法在S时间内计算CH(S)，O(n)的凸包。另外，我还必须分析算法的运行时间。

Answer 1

关键是你的点排序到x坐标。因此，您可以利用Graham scan：

  

排序这些点的时间复杂度为O（n log n）。虽然看起来似乎   循环的时间复杂度为O（n ² ），因为   每一点它都会返回以检查之前的任何一点是否有效   ＆＃34;右转＆＃34;，它实际上是O（n），因为每个点都被认为是   在某种意义上最多两次。 [...]整体时间复杂度是   因此O（n log n），因为排序的时间占据了的时间   实际上是计算凸包。

因此，在您的情况下，您跳过排序部分，允许您实现O(n)时间复杂度。

事实上，该文章继续在Notes：

  

如果输入在x坐标上排序，同样的基本思想也适用   而不是角度，船体是在两个步骤中计算出来的   船体的上部和下部分别为[...]

Answer 2

我无法抗拒解释程序。

这些点按字典（x，y）顺序排序。

假设我们已经构建了K个第一点的上部船体。如果我们想获得K + 1第一点的上部船体，我们必须找到新点和上部船体之间的“桥梁”。这是通过在船体上回溯直到新点和船体边缘形成凸角来完成的。

当我们回溯时，我们丢弃形成凹角的边缘，最后我们将新点链接到自由端点。 （在图中，我们尝试三条边并丢弃其中两条。）现在我们有K + 1点的上部船体。

线性行为简单地通过以下事实证明：存在N个前向步骤（添加N个顶点）和N-H后向步骤（N-H边缘被丢弃，其中H是最终船体顶点的数量）。

对称程序构建了下部船体，整个凸包是通过连接获得的。